ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Пусть $R=\frac{17}{4}$ — радиус окружности, описанной около треугольника $PQW$, тогда $2R=\frac{17}{2}$. По теореме синусов сторона треугольника равна $2R$, умноженному на синус противолежащего угла:

$$\frac{PQ}{\sin \angle PWQ}=2R\Rightarrow \sin \angle PWQ=\frac{PQ}{2R}=\frac{\frac{15}{2}}{\frac{17}{2}}=\frac{15}{17},$$

$$\frac{QW}{\sin \angle QPW}=2R\Rightarrow \sin \angle QPW=\frac{QW}{2R}=\frac{4}{\frac{17}{2}}=\frac{8}{17}.$$

По условию угол $W$ острый, поэтому его косинус положителен:

$$\cos \angle PWQ=\sqrt{1-{\sin }^2\angle PWQ}=\sqrt{1-\frac{225}{289}}=\sqrt{\frac{64}{289}}=\frac{8}{17}.$$

Получили $\sin \angle QPW=\cos \angle PWQ=\sin \left(90^{\circ }-\angle PWQ\right)$. Угол треугольника с данным синусом может быть острым или тупым, поэтому возможны два варианта: $\angle QPW=90^{\circ }-\angle PWQ$ или $\angle QPW=180^{\circ }-\left(90^{\circ }-\angle PWQ\right)=90^{\circ }+\angle PWQ$.

Второй вариант невозможен. Действительно, $\mathrm{tg}\angle PWQ=\frac{15}{17}:\frac{8}{17}=\frac{15}{8}>1$, поэтому $\angle PWQ>45^{\circ }$, и тогда

$$\angle QPW+\angle PWQ=90^{\circ }+2\angle PWQ>180^{\circ },$$

что противоречит теореме о сумме углов треугольника.

Значит, $\angle QPW=90^{\circ }-\angle PWQ$, и

$$\angle PQW=180^{\circ }-\angle QPW-\angle PWQ=90^{\circ }.$$

Треугольник $PQW$ прямоугольный. Что и требовалось доказать.

б) По условию $AP:PB=2:5$, поэтому $BP:BA=5:7$. Аналогично из $CQ:QB=2:5$ получаем $BQ:BC=5:7$.

Треугольники $PBQ$ и $ABC$ имеют общий угол $B$, а прилежащие к нему стороны пропорциональны: $\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}=\frac{5}{7}$. Значит, они подобны по двум сторонам и углу между ними, и

$$\frac{PQ}{AC}=\frac{5}{7}\Rightarrow AC=\frac{7}{5}PQ=\frac{7}{5}\cdot \frac{15}{2}=\frac{21}{2}.$$

Из подобия также $\angle BPQ=\angle BAC$, а это соответственные углы при прямых $PQ$ и $AC$ и секущей $AB$. Поэтому $PQ\parallel AC$.

По условию $CW:WD=2:5$, поэтому $CW:CD=2:7$. Из $CQ:QB=2:5$ получаем $CQ:CB=2:7$. Треугольники $QCW$ и $BCD$ имеют общий угол $C$ и $\frac{CQ}{CB}=\frac{CW}{CD}=\frac{2}{7}$, значит, они тоже подобны по двум сторонам и углу между ними:

$$\frac{QW}{BD}=\frac{2}{7}\Rightarrow BD=\frac{7}{2}QW=\frac{7}{2}\cdot 4=14.$$

Из подобия $\angle CWQ=\angle CDB$ — соответственные углы при прямых $QW$ и $BD$ и секущей $CD$, поэтому $QW\parallel BD$.

По пункту а) $PQ\perp QW$. Прямые $AC$ и $BD$ параллельны соответственно перпендикулярным прямым $PQ$ и $QW$, поэтому $AC\perp BD$.

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Здесь угол прямой, поэтому

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot \frac{21}{2}\cdot 14=\frac{147}{2}.$$

Ответ: б) $\frac{147}{2}$.