ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Запишем теорему косинусов для треугольника $ABC$:

$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle BAC,$$

$$37=16+9-2\cdot 4\cdot 3\cdot \cos \angle BAC,$$

$$\cos \angle BAC=\frac{25-37}{24}=-\frac{1}{2}.$$

Угол треугольника лежит в пределах от $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$, поэтому $\angle BAC=120^{\circ }$.

Треугольник $BDC$ равносторонний, поэтому $\angle BDC=60^{\circ }$. Точки $A$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $BC$, а сумма углов, под которыми из них виден отрезок $BC$, равна

$$\angle BAC+\angle BDC=120^{\circ }+60^{\circ }=180^{\circ }.$$

Значит, сумма противоположных углов четырёхугольника $ABDC$ равна $180^{\circ }$, и по признаку вписанного четырёхугольника около него можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

б) Диагонали четырёхугольника $ABDC$ — отрезки $AD$ и $BC$. Пусть $S$ — точка их пересечения.

Хорды $BD$ и $DC$ равны как стороны правильного треугольника, поэтому равны и стягиваемые ими дуги $BD$ и $DC$, не содержащие точку $A$. Вписанные углы $BAD$ и $DAC$ опираются на эти равные дуги, значит, $\angle BAD=\angle DAC$, и $AS$ — биссектриса треугольника $ABC$. По свойству биссектрисы она делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон:

$$\frac{BS}{SC}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}\Rightarrow BS=\frac{4}{7}\sqrt{37},SC=\frac{3}{7}\sqrt{37}.$$

Окружность, описанная около $ABDC$, описана и около правильного треугольника $BDC$. Поэтому её центр $O$ — центр этого треугольника, в котором пересекаются его медианы, высоты и биссектрисы. Пусть $DH$ — высота треугольника $BDC$; она же медиана, поэтому $H$ — середина $BC$, а $O$ лежит на $DH$ и делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Высота правильного треугольника со стороной $a$ равна $\frac{\sqrt{3}}{2}a$, поэтому

$$OH=\frac{1}{3}DH=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{37}=\frac{\sqrt{37}}{2\sqrt{3}}.$$

Точка $H$ — середина $BC$, то есть $BH=\frac{1}{2}\sqrt{37}$. Так как $BS=\frac{4}{7}\sqrt{37}>BH$, точка $S$ лежит между $H$ и $C$, и

$$HS=BS-BH=\frac{4}{7}\sqrt{37}-\frac{1}{2}\sqrt{37}=\frac{\sqrt{37}}{14}.$$

Треугольник $OHS$ прямоугольный с прямым углом $H$, так как $OH\perp BC$. По теореме Пифагора

$$O{S}^2=O{H}^2+H{S}^2=\frac{37}{12}+\frac{37}{196}=\frac{37\cdot 49+37\cdot 3}{588}=\frac{1924}{588}=\frac{481}{147}.$$

Тогда искомое расстояние

$$OS=\sqrt{\frac{481}{147}}=\frac{\sqrt{481}}{7\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{1443}}{21}.$$

Ответ: б) $\frac{\sqrt{1443}}{21}$.