На серединах сторон AB, BC и AC треугольника ABC с тупым углом A… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности сложная 2024 развёрнутое

На серединах сторон $A B,$ $B C$ и $A C$ треугольника $A B C$ с тупым углом $A$ отмечены точки $C_{1},$ $A_{1}$ и $B_{1}$ соответственно.

a) Докажите, что окружность, описанная около треугольника $A B_{1} C_{1},$ проходит через отличную от $A_{1}$ точку пересечения описанных окружностей треугольников $A_{1} B_{1} C$ и $A_{1} B C_{1} .$

б) Известно, что $A B = A C = 10$ и $B C = 16.$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника с вершинами в центрах вписанных окружностей треугольников $A B_{1} C_{1},$ $A_{1} B_{1} C$ и $A_{1} B C_{1} .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $A B C$ . Он лежит на серединных перпендикулярах к сторонам, а $C_{1}$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ — середины сторон. Угол $A$ тупой, поэтому углы $B$ и $C$ острые, и точка $O$ не совпадает ни с одной из середин: если бы, например, $O = A_{1}$ , то $B C$ была бы диаметром и угол $A$ был бы прямым. Значит,

$O A_{1} ⊥ B C, O B_{1} ⊥ A C, O C_{1} ⊥ A B .$

Рассмотрим окружность с диаметром $O C$ . Если из точки $X$ отрезок $O C$ виден под прямым углом, то $X$ лежит на окружности с диаметром $O C$ . Углы $O A_{1} C$ и $O B_{1} C$ прямые, поэтому точки $A_{1}$ и $B_{1}$ лежат на этой окружности. Через три точки $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C$ проходит только одна окружность, следовательно, окружность, описанная около треугольника $A_{1} B_{1} C$ , — это окружность с диаметром $O C$ , и она проходит через $O$ .

Точно так же углы $O A_{1} B$ и $O C_{1} B$ прямые, поэтому окружность, описанная около треугольника $A_{1} B C_{1}$ , — это окружность с диаметром $O B$ , и она тоже проходит через $O$ . А углы $O B_{1} A$ и $O C_{1} A$ прямые, поэтому окружность, описанная около треугольника $A B_{1} C_{1}$ , — это окружность с диаметром $O A$ , и она проходит через $O$ .

Окружности, описанные около $A_{1} B_{1} C$ и $A_{1} B C_{1}$ , различны (у них разные диаметры $O C$ и $O B$ ), а у двух различных окружностей не больше двух общих точек. Обе окружности проходят через $A_{1}$ и через $O$ , причём $O \neq = A_{1}$ . Значит, $O$ и есть их отличная от $A_{1}$ точка пересечения. Как показано выше, окружность, описанная около треугольника $A B_{1} C_{1}$ , проходит через $O$ . Что и требовалось доказать.

б) Пусть $I_{A}$ , $I_{B}$ , $I_{C}$ — центры окружностей, вписанных в треугольники $A B_{1} C_{1}$ , $A_{1} B C_{1}$ , $A_{1} B_{1} C$ .

Отрезки $A_{1} B_{1}$ , $B_{1} C_{1}$ , $C_{1} A_{1}$ — средние линии треугольника $A B C$ : каждая параллельна одной из сторон и равна её половине. Поэтому

$A C_{1} = C_{1} B = B_{1} A_{1} = \frac{A B}{2}, A B_{1} = B_{1} C = C_{1} A_{1} = \frac{A C}{2}, B_{1} C_{1} = B A_{1} = A_{1} C = \frac{B C}{2} .$

Значит, треугольники $A C_{1} B_{1}$ , $C_{1} B A_{1}$ и $B_{1} A_{1} C$ равны по трём сторонам, и у них соответственные стороны параллельны.

Сравним треугольники $A C_{1} B_{1}$ и $C_{1} B A_{1}$ . Их углы при вершинах $A$ и $C_{1}$ равны: это соответственные углы при параллельных прямых $A C$ и $C_{1} A_{1}$ и секущей $A B$ . Биссектрисы $A I_{A}$ и $C_{1} I_{B}$ этих углов образуют с прямой $A B$ равные углы $I_{A} A C_{1}$ и $I_{B} C_{1} B$ , а это соответственные углы при прямых $A I_{A}$ , $C_{1} I_{B}$ и секущей $A B$ . Поэтому $A I_{A} ∥ C_{1} I_{B}$ . Кроме того, в равных треугольниках расстояния от соответственных вершин до центров вписанных окружностей равны: $A I_{A} = C_{1} I_{B}$ .

Точки $I_{A}$ и $I_{B}$ лежат по одну сторону от прямой $A B$ , поэтому в четырёхугольнике $A I_{A} I_{B} C_{1}$ стороны $A I_{A}$ и $C_{1} I_{B}$ равны и параллельны — это параллелограмм. Его противоположные стороны равны:

$I_{A} I_{B} = A C_{1} = \frac{A B}{2} .$

Так же, сравнивая треугольники $A C_{1} B_{1}$ и $B_{1} A_{1} C$ , получаем параллелограмм $A I_{A} I_{C} B_{1}$ и $I_{A} I_{C} = A B_{1} = \frac{A C}{2}$ , а сравнивая треугольники $C_{1} B A_{1}$ и $B_{1} A_{1} C$ , получаем параллелограмм $C_{1} I_{B} I_{C} B_{1}$ и $I_{B} I_{C} = C_{1} B_{1} = \frac{B C}{2}$ .

Итак, стороны треугольника $I_{A} I_{B} I_{C}$ вдвое меньше соответствующих сторон треугольника $A B C$ . По признаку подобия по трём сторонам $△ I_{A} I_{B} I_{C} \sim △ A B C$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$ , поэтому и радиус описанной окружности у треугольника $I_{A} I_{B} I_{C}$ вдвое меньше.

Найдём радиус $R$ окружности, описанной около треугольника $A B C$ . Он равнобедренный ( $A B = A C = 10$ ), поэтому высота $A H$ является медианой, $B H = \frac{B C}{2} = 8$ . Из прямоугольного треугольника $A B H$

$cos ∠ B = \frac{B H}{A B} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}, sin ∠ B = 1 - \frac{16}{25} = \frac{3}{5} .$

По теореме синусов $\frac{A C}{sin ∠ B} = 2 R$ , откуда

$R = \frac{A C}{2 sin ∠ B} = \frac{10}{2 \cdot \frac{3}{5}} = \frac{25}{3} .$

Тогда радиус окружности, описанной около треугольника $I_{A} I_{B} I_{C}$ , равен

$\frac{R}{2} = \frac{25}{6} .$

Ответ: б) $\frac{25}{6}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18