ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Сначала поймём, где находится точка $D$. По условию $BD:DC=1:6$, поэтому оба отрезка ненулевые, и $D$ не совпадает ни с $B$, ни с $C$.

Точка $D$ лежит на окружности с диаметром $AB$ и отлична от его концов, поэтому вписанный угол $ADB$, опирающийся на диаметр, прямой: $\angle ADB=90^{\circ }$. Точно так же $D$ лежит на окружности с диаметром $AC$, и $\angle ADC=90^{\circ }$.

Получается, что прямые $DB$ и $DC$ проходят через точку $D$ и обе перпендикулярны прямой $AD$. Через точку проходит только одна прямая, перпендикулярная данной, поэтому прямые $DB$ и $DC$ совпадают. Значит, точка $D$ лежит на прямой $BC$, и $AD\perp BC$, то есть $D$ — основание высоты треугольника $ABC$, проведённой из вершины $A$.

Точка $C$ не может лежать между $B$ и $D$: тогда было бы $DB=DC+CB>DC$, а по условию $DC=6DB>DB$. Остаются два случая: $D$ лежит на отрезке $BC$ или $B$ лежит между $D$ и $C$ (то есть $D$ — на продолжении $CB$ за точку $B$).

Пусть $BD=a$, тогда $DC=6a$. В прямоугольном треугольнике $ADC$ угол $C$ равен $30^{\circ }$, поэтому

$$AD=DC\cdot \mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{6a}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}a.$$

В прямоугольном треугольнике $ADB$ по теореме Пифагора

$$AB=\sqrt{A{D}^2+B{D}^2}=\sqrt{12a^2+a^2}=a\sqrt{13}.$$

Эти величины одинаковы в обоих случаях. По теореме синусов для треугольника $ABC$

$$\frac{BC}{\sin \angle A}=\frac{AB}{\sin \angle C}\Rightarrow \sin \angle A=\frac{BC\cdot \sin 30^{\circ }}{AB}=\frac{BC}{2a\sqrt{13}}.$$

Остаётся найти $BC$.

Случай 1. Точка $D$ лежит между $B$ и $C$. Тогда $BC=BD+DC=7a$ и

$$\sin \angle A=\frac{7a}{2a\sqrt{13}}=\frac{7}{2\sqrt{13}}=\frac{7\sqrt{13}}{26}.$$

Случай 2. Точка $B$ лежит между $D$ и $C$. Тогда $BC=DC-BD=5a$ и

$$\sin \angle A=\frac{5a}{2a\sqrt{13}}=\frac{5}{2\sqrt{13}}=\frac{5\sqrt{13}}{26}.$$

Оба случая возможны: в каждом из них треугольник с $\angle C=30^{\circ }$ строится, если отложить на прямой отрезки $BD=a$ и $DC=6a$ и восставить в точке $D$ перпендикуляр длины $2\sqrt{3}a$. Поэтому в ответ входят оба значения.

Ответ: $\frac{7\sqrt{13}}{26}$ или $\frac{5\sqrt{13}}{26}$.