ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Обозначим $BC=2a$, $AC=2b$, $AB=2c$. Точка $E$ — середина $AB$, поэтому $AE=BE=c$; точка $F$ — середина $BC$, поэтому $BF=CF=a$.

Отрезок $EF$ соединяет середины двух сторон, то есть это средняя линия треугольника $ABC$. Она параллельна стороне $AC$ и равна её половине: $EF=b$.

По условию периметр равен $24$:

$$2a+2b+2c=24\Rightarrow a+b+c=12.$$

Вписанная окружность касается прямой $EF$, поэтому целиком лежит по одну сторону от неё — по ту же, что и сторона $AC$, которой окружность тоже касается. Значит, окружность лежит внутри трапеции $AEFC$ и касается всех четырёх её сторон: $AC$, $EF$, а также отрезков $AE$ и $CF$ (точки касания со сторонами $AB$ и $BC$ лежат по ту же сторону от $EF$). Следовательно, четырёхугольник $AEFC$ описанный, а в описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны:

$$AE+FC=EF+AC\Rightarrow c+a=b+2b=3b.$$

Подставим $a+c=3b$ в равенство для периметра:

$$3b+b=12\Rightarrow b=3\Rightarrow AC=2b=6.$$

Что и требовалось доказать.

б) Из пункта а) $a+c=3b=9$, то есть

$$BC+AB=2a+2c=18.$$

По условию $\angle ACB=90^{\circ }$, поэтому $AB$ — гипотенуза, и по теореме Пифагора

$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2\Rightarrow A{B}^2-B{C}^2=36.$$

Разложим разность квадратов на множители и подставим известную сумму:

$$(AB-BC)(AB+BC)=36\Rightarrow (AB-BC)\cdot 18=36\Rightarrow AB-BC=2.$$

Получили систему

$$\{\begin{array}{l}AB+BC=18,\\ AB-BC=2,\end{array}\iff \{\begin{array}{l}AB=10,\\ BC=8.\end{array}$$

Проверим, что такой треугольник подходит. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен $r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{6+8-10}{2}=2$. Катет $BC$ — это высота, проведённая из вершины $B$ к прямой $AC$, а средняя линия $EF$ проходит через середину этой высоты. Значит, $EF$ отстоит от $AC$ на $\frac{BC}{2}=4=2r$, — ровно на диаметр окружности, поэтому $EF$ действительно её касается.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24.$$

Ответ: б) $24$.