ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

а) Пусть $\angle CAD=\alpha$, тогда по условию $\angle BAC=2\alpha$.

Луч $AL$ — биссектриса угла $BAC$, поэтому

$$\angle BAL=\angle LAC=\frac{1}{2}\angle BAC=\alpha .$$

Противоположные стороны параллелограмма параллельны: $BC\parallel AD$. Углы $BCA$ и $CAD$ — накрест лежащие при этих прямых и секущей $AC$, поэтому $\angle BCA=\angle CAD=\alpha$.

Рассмотрим треугольники $ABL$ и $CBA$. Угол $B$ у них общий (точка $L$ лежит на стороне $BC$), а $\angle BAL=\angle BCA=\alpha$. Значит, треугольники подобны по двум углам, причём вершине $A$ первого треугольника соответствует вершина $C$ второго, $B$ — $B$, $L$ — $A$. Из подобия следует пропорциональность соответственных сторон:

$$\frac{AL}{CA}=\frac{AB}{CB}\Rightarrow AL\cdot BC=AB\cdot AC.$$

Что и требовалось доказать.

б) По условию $\mathrm{tg}\angle BCA=\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{2}$.

Точка $L$. В треугольнике $ALC$ углы при стороне $AC$ равны: $\angle LAC=\alpha$ (пункт а) и $\angle LCA=\angle BCA=\alpha$. Значит, треугольник $ALC$ равнобедренный, $LA=LC$, и точка $L$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$.

Точка $E$. По условию $AE=CE$, поэтому $E$ тоже равноудалена от концов отрезка $AC$ и лежит на том же серединном перпендикуляре.

Пусть $O$ — середина $AC$. Тогда $AO=OC=4$, а точки $L$, $O$, $E$ лежат на одной прямой, перпендикулярной $AC$.

Точка $L$ лежит на стороне $BC$, а точка $E$ — на луче $CD$. Вершины $B$ и $D$ параллелограмма лежат по разные стороны от диагонали $AC$, поэтому $L$ и $E$ тоже по разные стороны от $AC$, и точка $O$ лежит между ними:

$$EL=LO+OE.$$

Найдём $LO$ из прямоугольного треугольника $ALO$:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{LO}{AO}\Rightarrow LO=AO\cdot \mathrm{tg}\alpha =4\cdot \frac{1}{2}=2.$$

Найдём угол $ACE$. Точка $E$ лежит на продолжении $CD$ за точку $D$, поэтому $\angle ACE=\angle ACD$. Так как $AB\parallel CD$, накрест лежащие углы $ACD$ и $CAB$ равны: $\angle ACE=\angle CAB=2\alpha$. Треугольник $ACE$ равнобедренный ($AE=CE$), поэтому углы при основании равны: $\angle CAE=\angle ACE=2\alpha$.

По формуле тангенса двойного угла

$$\mathrm{tg}2\alpha =\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }=\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}.$$

Тогда из прямоугольного треугольника $AOE$

$$OE=AO\cdot \mathrm{tg}2\alpha =4\cdot \frac{4}{3}=\frac{16}{3}.$$

Значит,

$$EL=LO+OE=2+\frac{16}{3}=\frac{22}{3}.$$

Ответ: б) $\frac{22}{3}$.