ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Точка $O$ — центр вписанной окружности, то есть точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$. Значит, $BO$ и $CO$ — биссектрисы углов $ABC$ и $ACB$. Обозначим

$$\angle ACO=\angle OCB=\alpha ,\angle ABO=\angle OBC=\beta .$$

Точки $B$, $O$, $P$ лежат на одной прямой, и $O$ лежит между $B$ и $P$. Поэтому угол $POC$ — внешний угол треугольника $BOC$ при вершине $O$. Он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$$\angle POC=\angle OCB+\angle OBC=\alpha +\beta .$$

Луч $BO$ пересекает сторону $AC$ и уже за ней вторично встречает описанную окружность в точке $P$. Значит, $P$ и $O$ лежат по разные стороны от прямой $AC$, и луч $CA$ проходит между лучами $CO$ и $CP$.

Вписанные углы $ACP$ и $ABP$ опираются на одну дугу $AP$, поэтому

$$\angle ACP=\angle ABP=\angle ABO=\beta .$$

Тогда

$$\angle PCO=\angle ACO+\angle ACP=\alpha +\beta =\angle POC.$$

Что и требовалось доказать.

б) Луч $BP$ — биссектриса угла $ABC=120^{\circ }$, поэтому

$$\angle ABP=\angle CBP=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Вписанные углы $CAP$ и $CBP$ опираются на одну дугу $CP$, а вписанные углы $ACP$ и $ABP$ — на одну дугу $AP$ (это равенство уже использовано в пункте а). Поэтому

$$\angle CAP=\angle CBP=60^{\circ },\angle ACP=\angle ABP=60^{\circ }.$$

По теореме о сумме углов треугольника третий угол $APC=180^{\circ }-60^{\circ }-60^{\circ }=60^{\circ }$. Все углы треугольника $APC$ равны, значит, он равносторонний: $AP=CP=AC$.

Сторону $AC$ найдём по теореме синусов для треугольника $ABC$: $\frac{AC}{\sin \angle ABC}=2R$, где $R=4$ — радиус описанной окружности. Отсюда

$$AC=2R\sin 120^{\circ }=2\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.$$

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними:

$$S_{APC}=\frac{1}{2}\cdot AP\cdot AC\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{48\sqrt{3}}{4}=12\sqrt{3}.$$

Ответ: б) $12\sqrt{3}$.