ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

а) Рассмотрим треугольник $ACD$.

Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $AD$, а вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Поэтому $\angle AMD=90^{\circ }$, то есть $AM\perp CD$, и отрезок $AM$ — высота треугольника $ACD$.

Точка $N$ лежит на окружности с диаметром $CD$, поэтому по той же причине $\angle CND=90^{\circ }$. Значит, $CN\perp AD$, и отрезок $CN$ — тоже высота треугольника $ACD$.

Три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Высоты $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$, поэтому через $P$ проходит и третья высота треугольника $ACD$ — та, что проведена из вершины $D$.

Пусть $T$ — точка пересечения диагоналей трапеции. По условию $BD\perp AC$, то есть прямая $BD$ проходит через вершину $D$ перпендикулярно прямой $AC$. Через точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной, поэтому прямая $BD$ и содержит высоту треугольника $ACD$ из вершины $D$. Значит, точка $P$ лежит на прямой $BD$.

Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $CD$ и $AD$, поэтому отрезки $AM$ и $CN$ проходят внутри треугольника $ACD$, и $P$ — его внутренняя точка. Внутри треугольника $ACD$ прямая $BD$ проходит по отрезку $DT$, который является частью диагонали $BD$. Итак, $P$ лежит на диагонали $BD$. Что и требовалось доказать.

б) Найдём сначала нужные отрезки.

Проведём ещё одну высоту трапеции $B{N}_1$. Четырёхугольник $BCN{N}_1$ — прямоугольник, поэтому $N_{1}N=BC$. Прямоугольные треугольники $AB{N}_1$ и $DCN$ равны по гипотенузе и катету ($AB=CD$ как боковые стороны равнобедренной трапеции, $B{N}_1=CN$ как высоты), поэтому $A{N}_1=DN$. Отсюда

$$DN=\frac{AD-BC}{2}=\frac{31-17}{2}=7,AN=AD-DN=31-7=24.$$

Найдём углы, которые диагонали образуют с основанием. Треугольники $ABD$ и $DCA$ равны по двум сторонам и углу между ними ($AB=DC$, $AD$ — общая, $\angle BAD=\angle CDA$ как углы при основании равнобедренной трапеции). Поэтому $\angle BDA=\angle CAD$, и треугольник $ATD$ равнобедренный. Его угол $ATD$ прямой, так как диагонали перпендикулярны, значит, углы при основании равны:

$$\angle CAD=\angle BDA=\frac{180^{\circ }-90^{\circ }}{2}=45^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике $ACN$ острый угол $CAN$ равен $45^{\circ }$, поэтому треугольник равнобедренный: $CN=AN=24$. Это высота трапеции.

По теореме Пифагора в треугольнике $CND$

$$CD=\sqrt{D{N}^2+C{N}^2}=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{625}=25,$$

и боковая сторона $AB=CD=25$.

Точка $P$ лежит на диагонали $BD$ (пункт а) и на высоте $CN$. В прямоугольном треугольнике $DNP$ угол $PDN=\angle BDA=45^{\circ }$, поэтому он равнобедренный: $PN=DN=7$. Тогда $CP=CN-PN=24-7=17$.

Отрезки $PA$, $PB$ и $CN$ разбивают трапецию на четыре треугольника: $ABP$, $BPC$, $CND$ (точка $P$ лежит на его стороне $CN$) и $APN$. Поэтому

$$S_{ABP}=S_{ABCD}-S_{BPC}-S_{CND}-S_{APN}.$$

Вычислим каждую площадь. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

$$S_{ABCD}=\frac{31+17}{2}\cdot 24=576.$$

Треугольники $CND$ и $APN$ прямоугольные с прямым углом $N$:

$$S_{CND}=\frac{1}{2}\cdot DN\cdot CN=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 24=84,S_{APN}=\frac{1}{2}\cdot AN\cdot PN=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 7=84.$$

Прямая $CN$ перпендикулярна $AD$, а значит, и параллельной ей прямой $BC$. Поэтому треугольник $BPC$ прямоугольный с прямым углом $C$:

$$S_{BPC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot CP=\frac{1}{2}\cdot 17\cdot 17=\frac{289}{2}.$$

Тогда

$$S_{ABP}=576-\frac{289}{2}-84-84=408-\frac{289}{2}=\frac{527}{2}.$$

Пусть $PK$ — перпендикуляр из точки $P$ к прямой $AB$; его длина и есть искомое расстояние.

Отрезок $PK$ — высота треугольника $ABP$, проведённая к стороне $AB$, поэтому

$$S_{ABP}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot PK\Rightarrow PK=\frac{2S_{ABP}}{AB}=\frac{527}{25}=21,08.$$

Ответ: б) $21,08$.