ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому $BO$ и $CO$ — биссектрисы углов $ABC$ и $ACB$. Обозначим

$$\angle ABP=\angle PBC=\alpha ,\angle ACO=\angle OCB=\beta .$$

Луч $BO$ выходит из вершины $B$, проходит через внутреннюю точку $O$, пересекает сторону $AC$ и только после этого вторично встречает описанную окружность в точке $P$. Значит, точка $P$ лежит по другую сторону от прямой $AC$, чем точки $B$ и $O$.

Вписанные углы $PCA$ и $PBA$ опираются на одну дугу $AP$, поэтому

$$\angle PCA=\angle PBA=\alpha .$$

Точки $O$ и $P$ лежат по разные стороны от прямой $AC$, поэтому луч $CA$ проходит между лучами $CO$ и $CP$, и

$$\angle PCO=\angle PCA+\angle ACO=\alpha +\beta .$$

Точки $B$, $O$, $P$ лежат на одной прямой, причём $O$ между $B$ и $P$. Поэтому угол $POC$ — внешний угол треугольника $BOC$ при вершине $O$. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$$\angle POC=\angle OBC+\angle OCB=\alpha +\beta .$$

Получили $\angle PCO=\angle POC$. Значит, треугольник $POC$ равнобедренный с основанием $OC$, и $OP=CP$. Что и требовалось доказать.

б) Луч $BP$ — биссектриса угла $ABC$, поэтому

$$\angle ABP=\angle PBC=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }.$$

Вписанные углы $PAC$ и $PBC$ опираются на одну дугу $PC$, а вписанные углы $PCA$ и $PBA$ — на одну дугу $PA$. Поэтому

$$\angle PAC=\angle PBC=30^{\circ },\angle PCA=\angle PBA=30^{\circ }.$$

Углы при стороне $AC$ треугольника $APC$ равны, значит, он равнобедренный: $PA=PC$.

Проведём перпендикуляр $PH$ к прямой $AC$. Его длина и есть расстояние от точки $P$ до прямой $AC$, то есть $PH=36$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой, поэтому $H$ — середина $AC$ и $AC=2HC$.

В прямоугольном треугольнике $PHC$ острый угол $PCH$ равен $30^{\circ }$, а катет $PH$ лежит против него. По определению тангенса

$$\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{PH}{HC}\Rightarrow HC=\frac{PH}{\mathrm{tg}30^{\circ }}=\frac{36}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=36\sqrt{3}.$$

Тогда $AC=2\cdot 36\sqrt{3}=72\sqrt{3}$.

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$. По теореме синусов $\frac{AC}{\sin \angle ABC}=2R$, откуда

$$R=\frac{AC}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{72\sqrt{3}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=72.$$

Ответ: б) $72$.