ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники $BCM$ и $CDN$: углы $B$ и $C$ квадрата прямые. В них $BC=CD$ как стороны квадрата, а $BM=CN$, потому что каждый из этих отрезков равен половине стороны квадрата. Значит, $△BCM=△CDN$ по двум катетам. В равных треугольниках соответственные углы равны, поэтому $\angle BCM=\angle CDN$.

Точка $K$ лежит на отрезках $CM$ и $DN$, поэтому $\angle KCD=\angle MCD$ и $\angle KDC=\angle NDC$. Угол $C$ квадрата прямой, и луч $CM$ делит его на два угла: $\angle BCM+\angle MCD=90^{\circ }$. Заменим в этой сумме $\angle BCM$ на равный ему $\angle CDN$:

$$\angle KDC+\angle KCD=\angle CDN+\angle MCD=\angle BCM+\angle MCD=90^{\circ }.$$

По теореме о сумме углов треугольника в треугольнике $CKD$ третий угол равен

$$\angle CKD=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }.$$

Значит, прямые $CM$ и $DN$ перпендикулярны.

Рассмотрим четырёхугольник $BNKM$. Его угол $MBN$ — угол квадрата, он прямой. Угол $MKN$ тоже прямой, так как его стороны $KM$ и $KN$ лежат на перпендикулярных прямых $CM$ и $DN$. Сумма противоположных углов

$$\angle MBN+\angle MKN=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ },$$

поэтому по признаку вписанного четырёхугольника около $BNKM$ можно описать окружность.

Вписанные углы $BKM$ и $BNM$ этой окружности опираются на одну и ту же дугу $BM$, поэтому они равны. Треугольник $MBN$ прямоугольный и равнобедренный: $BM=BN$ как половины сторон квадрата. Значит, его острые углы равны $45^{\circ }$, и

$$\angle BKM=\angle BNM=45^{\circ }.$$

То же можно увидеть иначе: равные хорды $BM$ и $BN$ стягивают равные дуги, поэтому $\angle BKM=\angle BKN$, а вместе эти углы составляют прямой угол $MKN$. Что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим четырёхугольник $AMKD$. Угол $MAD$ прямой как угол квадрата, а $\angle MKD=90^{\circ }$, потому что $CM\perp DN$ (доказано в пункте а). Значит,

$$\angle MAD+\angle MKD=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ },$$

и около четырёхугольника $AMKD$ тоже можно описать окружность. Вписанные углы $AKM$ и $ADM$ опираются на одну дугу $AM$, поэтому $\angle AKM=\angle ADM$. Обозначим этот угол через $\alpha$.

Найдём синус и косинус угла $\alpha$ из прямоугольного треугольника $ADM$. Сторона квадрата $AD=4\sqrt{6}$, а $AM=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{6}$. По теореме Пифагора

$$DM=\sqrt{A{M}^2+A{D}^2}=\sqrt{24+96}=\sqrt{120}=2\sqrt{30}.$$

Тогда

$$\sin \alpha =\frac{AM}{DM}=\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{30}}=\frac{1}{\sqrt{5}},\cos \alpha =\frac{AD}{DM}=\frac{4\sqrt{6}}{2\sqrt{30}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.$$

Точка $M$ лежит на стороне $AB$, поэтому луч $KM$ проходит внутри угла $AKB$ и делит его на два угла. Один из них равен $\alpha$, другой — $45^{\circ }$ по пункту а):

$$\angle AKB=\angle AKM+\angle MKB=\alpha +45^{\circ }.$$

По формуле синуса суммы

$$\sin \angle AKB=\sin \left(\alpha +45^{\circ }\right)=\sin \alpha \cos 45^{\circ }+\cos \alpha \sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=\frac{3}{\sqrt{10}}.$$

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABK$. По теореме синусов $\frac{AB}{\sin \angle AKB}=2R$, откуда

$$R=\frac{AB}{2\sin \angle AKB}=\frac{4\sqrt{6}}{2\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}}=\frac{4\sqrt{6}\cdot \sqrt{10}}{6}=\frac{2\sqrt{60}}{3}=\frac{4\sqrt{15}}{3}.$$

Ответ: б) $\frac{4\sqrt{15}}{3}$.