ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

Прямые $AB$ и $AD$ касаются окружности в точках $K$ и $P$, точка $C$ лежит на окружности.

а) Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключённую внутри этого угла. Угол $CKB$ образован касательной $KB$ и хордой $KC$, и вписанный угол $KPC$ опирается на ту же дугу $\stackrel{⌣}{\mathrm{KC}}$, поэтому

$$\angle CKB=\angle CPK.$$

Аналогично угол $CPD$ образован касательной $PD$ и хордой $PC$, поэтому

$$\angle CPD=\angle CKP.$$

Углы $CKB$ и $CPD$ — острые углы прямоугольных треугольников $CBK$ и $CDP$, поэтому оба угла $CPK$ и $CKP$ при основании треугольника $CKP$ острые. Значит, основание $H$ перпендикуляра из $C$ лежит на отрезке $KP$, и $\angle CPH=\angle CPK$, $\angle CKH=\angle CKP$.

Рассмотрим треугольники $CBK$ и $CHP$. В них

1. $\angle CKB=\angle CPK=\angle CPH$ (доказано выше);
2. $\angle CBK=\angle CHP=90^{\circ }$ (угол прямоугольника и $CH\perp KP$).

Значит, треугольники $CBK$ и $CHP$ подобны по двум углам, причём вершине $B$ соответствует $H$, а вершине $K$ — вершина $P$. Что и требовалось доказать.

б) Точно так же сравним треугольники $CDP$ и $CHK$. В них

1. $\angle CPD=\angle CKP=\angle CKH$;
2. $\angle CDP=\angle CHK=90^{\circ }$.

Значит, треугольники $CDP$ и $CHK$ подобны по двум углам, причём вершине $D$ соответствует $H$, а вершине $P$ — вершина $K$.

Запишем отношения сторон, содержащие стороны прямоугольника. Из подобия $CBK$ и $CHP$:

$$\frac{CB}{CH}=\frac{CK}{CP}.$$

Из подобия $CDP$ и $CHK$:

$$\frac{CD}{CH}=\frac{CP}{CK}.$$

Перемножим эти равенства — отношения $\frac{CK}{CP}$ и $\frac{CP}{CK}$ дадут единицу:

$$\frac{CB\cdot CD}{C{H}^2}=1\Rightarrow CB\cdot CD=C{H}^2.$$

Площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон:

$$S_{ABCD}=CB\cdot CD=C{H}^2=6^2=36.$$

Ответ: б) $36$.