Окружность радиуса 6 вписана в угол, равный 60°. Вторая окружность… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности сложная 2013 развёрнутое

Окружность радиуса 6 вписана в угол, равный $6 0^{\circ} .$ Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках $M$ и $N .$ Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 4. Найдите $M N .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Пусть $A$ — вершина угла, $O_{1}$ — центр первой окружности, $O_{2}$ — центр второй. Центр окружности, вписанной в угол, равноудалён от его сторон, поэтому $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат на биссектрисе угла, и

$∠ K A O_{1} = \frac{1}{2} \cdot 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ},$

где $K$ и $L$ — точки касания первой и второй окружностей с одной из сторон угла. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_{1} K ⊥ A K$ , $O_{2} L ⊥ A L$ .

В прямоугольном треугольнике $A O_{1} K$ катет $O_{1} K = 6$ лежит против угла $3 0^{\circ}$ , поэтому он равен половине гипотенузы:

$A O_{1} = 2 \cdot O_{1} K = 12.$

Центр $O_{2}$ лежит на той же биссектрисе на расстоянии $4$ от $O_{1}$ , поэтому возможны два случая: $O_{2}$ ближе к $A$ , чем $O_{1}$ , или дальше.

Общую хорду $M N$ найдём одинаково в обоих случаях. Точки $O_{1}$ и $O_{2}$ равноудалены от $M$ и $N$ , поэтому прямая $O_{1} O_{2}$ — серединный перпендикуляр к $M N$ . Пусть $H$ — точка пересечения $M N$ и $O_{1} O_{2}$ ; тогда $M N = 2 M H$ , а $M H$ — высота треугольника $M O_{1} O_{2}$ , проведённая к стороне $O_{1} O_{2}$ . Все стороны этого треугольника известны ( $M O_{1}$ и $M O_{2}$ — радиусы), поэтому найдём его площадь по формуле Герона, а затем высоту:

$M H = \frac{2 S _{M O_{1} O_{2}}}{O _{1} O _{2}} .$

Первый случай: $O_{2}$ ближе к вершине. Тогда

$A O_{2} = A O_{1} - O_{1} O_{2} = 12 - 4 = 8.$

В прямоугольном треугольнике $A O_{2} L$ катет $O_{2} L$ лежит против угла $3 0^{\circ}$ , поэтому радиус второй окружности

$O_{2} L = \frac{1}{2} A O_{2} = 4.$

Окружности действительно пересекаются: $6 - 4 < 4 < 6 + 4$ . Радиус второй окружности равен $O_{1} O_{2}$ , поэтому она проходит через центр $O_{1}$ .

В треугольнике $M O_{1} O_{2}$ стороны $M O_{1} = 6$ , $M O_{2} = 4$ , $O_{1} O_{2} = 4$ . Полупериметр $p = \frac{6 + 4 + 4}{2} = 7$ , и по формуле Герона

$S_{M O_{1} O_{2}} = p (p - M O_{1}) (p - M O_{2}) (p - O_{1} O_{2}) = 7 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 3 = 37 .$

Тогда

$M H = \frac{2 \cdot 3 7}{4} = \frac{3 7}{2}, M N = 2 M H = 37 .$

Второй случай: $O_{2}$ дальше от вершины.

Рисунок к решению

Тогда

$A O_{2} = A O_{1} + O_{1} O_{2} = 12 + 4 = 16, O_{2} L = \frac{1}{2} A O_{2} = 8.$

Окружности пересекаются: $8 - 6 < 4 < 8 + 6$ .

В треугольнике $M O_{1} O_{2}$ стороны $M O_{1} = 6$ , $M O_{2} = 8$ , $O_{1} O_{2} = 4$ . Полупериметр $p = \frac{6 + 8 + 4}{2} = 9$ , и

$S_{M O_{1} O_{2}} = 9 \cdot (9 - 6) \cdot (9 - 8) \cdot (9 - 4) = 9 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 5 = 315 .$

Тогда

$M H = \frac{2 \cdot 3 15}{4} = \frac{3 15}{2}, M N = 2 M H = 315 .$

Ответ: $37$ или $315$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18