ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

а) Пусть $E$ — середина $AD$. Тогда по условию $AE=ED=BC$.

Так как $AD>BC$, боковые стороны трапеции не параллельны. Продлим их до пересечения в точке $F$. Из $BC\parallel AD$ следует, что треугольники $FBC$ и $FAD$ подобны (угол $F$ общий, а $\angle FBC=\angle FAD$ как соответственные). Коэффициент подобия

$$k=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2},$$

поэтому $FB=\frac{1}{2}FA$ и $FC=\frac{1}{2}FD$. Значит, $B$ — середина $AF$, а $C$ — середина $DF$, то есть $AB=BF$ и $DC=CF$.

По условию $MB\perp AB$, то есть прямая $MB$ перпендикулярна отрезку $AF$ и проходит через его середину — это серединный перпендикуляр к $AF$. Точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка: $MA=MF$. Точно так же $MC$ — серединный перпендикуляр к $DF$, и $MD=MF$.

Итак, $MA=MF=MD$: точка $M$ — центр окружности, описанной около треугольника $AFD$, и $AM=DM$. Что и требовалось доказать.

б) Треугольник $AMD$ равнобедренный ($MA=MD$), поэтому его медиана $ME$ является высотой: $ME\perp AD$. Значит, длина $ME$ — это расстояние от $M$ до прямой $AD$, и по условию

$$ME=BC=AE=ED.$$

В прямоугольном треугольнике $AEM$ катеты равны, поэтому он равнобедренный и $\angle AME=45^{\circ }$. Точно так же $\angle DME=45^{\circ }$, значит,

$$\angle AMD=90^{\circ }.$$

(Иначе: медиана $ME$ треугольника $AMD$ равна половине стороны $AD$, поэтому угол $AMD$ прямой.)

Точка $M$ — центр окружности, описанной около треугольника $AFD$. Угол $AMD$ — центральный, угол $AFD$ — вписанный, и они опираются на одну дугу $\stackrel{⌣}{\mathrm{AD}}$: точки $M$ (внутри трапеции) и $F$ (за основанием $BC$) лежат по одну сторону от $AD$. Вписанный угол равен половине центрального:

$$\angle AFD=\frac{1}{2}\angle AMD=45^{\circ }.$$

В треугольнике $AFD$ угол $FDA$ — это угол $ADC$, он равен $55^{\circ }$. По сумме углов треугольника

$$\angle FAD=180^{\circ }-\angle AFD-\angle FDA=180^{\circ }-45^{\circ }-55^{\circ }=80^{\circ }.$$

Точка $B$ лежит на $AF$, поэтому $\angle BAD=\angle FAD=80^{\circ }$.

Ответ: б) $80^{\circ }$.