ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

а) Обозначим $\angle CAD=\alpha$. По условию $\angle BAC=2\alpha$, а $AL$ — биссектриса угла $BAC$, поэтому

$$\angle BAL=\angle LAC=\alpha .$$

В параллелограмме $AD\parallel BC$. Углы $CAD$ и $BCA$ — накрест лежащие при этих параллельных прямых и секущей $AC$, поэтому

$$\angle BCA=\angle CAD=\alpha .$$

Рассмотрим треугольники $BAC$ и $BLA$. Точка $L$ лежит на стороне $BC$, поэтому угол $B$ у них общий, и $\angle BAL=\alpha =\angle BCA$. Значит, треугольники подобны по двум углам, причём вершине $C$ соответствует $A$, а вершине $A$ — вершина $L$. Третьи углы тоже равны: угол $BLA$ — внешний угол треугольника $ALC$, поэтому

$$\angle BLA=\angle LAC+\angle LCA=\alpha +\alpha =2\alpha =\angle BAC.$$

Запишем отношение соответствующих сторон: стороне $AC$ треугольника $BAC$ соответствует сторона $LA$, а стороне $BC$ — сторона $BA$:

$$\frac{AC}{AL}=\frac{BC}{AB}\Rightarrow AL\cdot BC=AB\cdot AC.$$

Что и требовалось доказать.

б) Теперь $\alpha =\angle BCA$ и $\mathrm{tg}\alpha =0,5$. Пусть $O$ — середина $AC$:

$$AO=CO=\frac{1}{2}AC=4.$$

В треугольнике $ALC$ углы при основании равны: $\angle LAC=\alpha =\angle LCA$. Значит, он равнобедренный, и его медиана $LO$ является высотой: $LO\perp AC$.

В треугольнике $AEC$ по условию $AE=EC$, поэтому медиана $EO$ тоже является высотой: $EO\perp AC$.

Через точку $O$ проходит только одна прямая, перпендикулярная $AC$, поэтому $L$, $O$, $E$ лежат на одной прямой. Точка $L$ лежит на стороне $BC$ — по ту же сторону от $AC$, что и $B$, а точка $E$ лежит на луче $CD$ — по ту же сторону, что и $D$. Вершины $B$ и $D$ лежат по разные стороны от диагонали $AC$, поэтому $O$ лежит между $L$ и $E$, и

$$EL=EO+OL.$$

В прямоугольном треугольнике $AOL$ ($\angle AOL=90^{\circ }$):

$$OL=AO\cdot \mathrm{tg}\angle LAO=4\cdot 0,5=2.$$

В прямоугольном треугольнике $COE$ ($\angle COE=90^{\circ }$) угол $OCE$ — это угол $ACD$. В параллелограмме $AB\parallel CD$, и углы $ACD$ и $CAB$ — накрест лежащие при секущей $AC$:

$$\angle OCE=\angle ACD=\angle BAC=2\alpha ,EO=CO\cdot \mathrm{tg}2\alpha .$$

По формуле тангенса двойного угла:

$$\mathrm{tg}2\alpha =\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }=\frac{2\cdot 0,5}{1-0,25}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}.$$

Значит,

$$EO=4\cdot \frac{4}{3}=\frac{16}{3},EL=EO+OL=\frac{16}{3}+2=\frac{22}{3}.$$

Ответ: б) $\frac{22}{3}$.