ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

а) Пусть прямая $ER$ пересекает сторону $AD$ в точке $N$. Противоположные стороны ромба параллельны, а $EN\perp BC$, поэтому $EN\perp AD$, то есть $\angle DNR=\angle ANM=90^{\circ }$. На прямой точки идут в порядке $E$, $R$, $M$, $N$.

Рассмотрим треугольники $DRN$ и $BRE$. В них $\angle DNR=90^{\circ }=\angle BER$, а $\angle DRN=\angle BRE$ как вертикальные. Значит, они подобны по двум углам, и

$$\frac{DN}{BE}=\frac{DR}{BR}=2.$$

Пусть $BE=x$. Тогда $DN=2x$, $EC=3x$, $BC=4x$. Все стороны ромба равны, поэтому $AD=4x$ и

$$AN=AD-DN=4x-2x=2x.$$

Рассмотрим треугольники $AMN$ и $CME$. В них $\angle ANM=90^{\circ }=\angle CEM$, а $\angle AMN=\angle CME$ как вертикальные. Значит, они подобны по двум углам, и

$$\frac{AM}{CM}=\frac{AN}{CE}=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}.$$

Итак, $CM:MA=3:2$, то есть точка $M$ делит $AC$ в отношении $3:2$, считая от вершины $C$. Что и требовалось доказать.

б) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба и $\angle DAC=\alpha$. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому

$$\angle BAC=\angle DAC=\alpha .$$

В прямоугольном треугольнике $AMN$ сумма острых углов равна $90^{\circ }$:

$$\angle AMN=90^{\circ }-\angle MAN=90^{\circ }-\alpha .$$

Точка $M$ лежит между $A$ и $O$ и между $R$ и $N$, поэтому углы $OMR$ и $AMN$ вертикальные:

$$\angle OMR=\angle AMN=90^{\circ }-\alpha .$$

Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому $\angle MOR=90^{\circ }$, и в треугольнике $OMR$

$$\angle ORM=90^{\circ }-\angle OMR=90^{\circ }-(90^{\circ }-\alpha )=\alpha .$$

Рассмотрим треугольники $OAB$ и $ORM$. В них $\angle AOB=90^{\circ }=\angle ROM$ и $\angle OAB=\alpha =\angle ORM$, поэтому они подобны по двум углам; вершине $A$ соответствует $R$, вершине $B$ — вершина $M$. Обозначим коэффициент подобия $k$:

$$k=\frac{AB}{RM}=\frac{OA}{OR}=\frac{OB}{OM}.$$

Чтобы найти сторону ромба $AB=k\cdot RM$, нужно найти $k$. Выразим отрезки диагоналей.

Пусть $BR=2y$, тогда $RD=4y$ и $BD=6y$. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому $BO=OD=3y$, и

$$OR=BO-BR=y.$$

Пусть $AM=4z$, тогда по пункту а) $CM=6z$ и $AC=10z$. Поэтому $AO=OC=5z$, и

$$OM=AO-AM=z.$$

Подставим в равенство $\frac{OA}{OR}=\frac{OB}{OM}$:

$$\frac{5z}{y}=\frac{3y}{z}\Rightarrow 5z^2=3y^2\Rightarrow \frac{z}{y}=\sqrt{\frac{3}{5}}.$$

Тогда

$$k=\frac{OA}{OR}=\frac{5z}{y}=5\sqrt{\frac{3}{5}}=\sqrt{15}.$$

Сторона ромба и периметр:

$$AB=k\cdot RM=\sqrt{15}\cdot \sqrt{15}=15,P_{ABCD}=4AB=60.$$

Ответ: б) $60$.