ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

а) В квадрате $BC=AD$, поэтому достаточно доказать, что $CK\cdot CE=B{C}^2$.

Хорда $CE$ пересекает диагональ $BD$ во внутренней точке $K$, значит, точки $C$ и $E$ лежат по разные стороны от $BD$, и точка $E$ лежит на дуге $BAD$.

Рассмотрим треугольники $BCE$ и $KCB$. Угол при вершине $C$ у них общий: $\angle BCE=\angle KCB$, так как $K$ лежит на $CE$.

Угол $BEC$ — вписанный, он опирается на дугу $\stackrel{⌣}{\mathrm{BC}}$. Угол $CBK$, то есть $CBD$, — вписанный и опирается на дугу $\stackrel{⌣}{\mathrm{CD}}$. Хорды $BC$ и $CD$ равны как стороны квадрата, поэтому стягиваемые ими дуги равны, а значит, равны и вписанные углы:

$$\angle BEC=\angle CBK=45^{\circ }.$$

(Каждая из этих дуг — четверть окружности, $90^{\circ }$, а вписанный угол равен половине дуги.)

Значит, треугольники $BCE$ и $KCB$ подобны по двум углам, причём вершине $E$ соответствует $B$, а вершине $B$ — вершина $K$. Из подобия

$$\frac{CE}{CB}=\frac{CB}{CK}\Rightarrow CK\cdot CE=C{B}^2=BC\cdot AD.$$

Что и требовалось доказать.

б) Точка $E$ лежит на дуге $BAD$, поэтому луч $CE$ проходит внутри прямого угла $BCD$, и

$$\angle BCE=90^{\circ }-\angle ECD=90^{\circ }-75^{\circ }=15^{\circ }.$$

Найдём остальные нужные углы.

1. По пункту а) $\angle BEC=\angle CBK=45^{\circ }$.
2. В треугольнике $BCK$: $\angle BKC=180^{\circ }-15^{\circ }-45^{\circ }=120^{\circ }$.
3. В треугольнике $BCE$: $\angle CBE=180^{\circ }-15^{\circ }-45^{\circ }=120^{\circ }$, поэтому $\angle KBE=\angle CBE-\angle CBK=120^{\circ }-45^{\circ }=75^{\circ }$.
4. В треугольнике $BKE$: $\angle BEK=\angle BEC=45^{\circ }$, а $\angle BKE=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$ (смежный с $\angle BKC$).

По теореме синусов в треугольнике $BCK$:

$$\frac{CK}{\sin \angle CBK}=\frac{BK}{\sin \angle BCK}\Rightarrow CK=\frac{BK\sin 45^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}.$$

По теореме синусов в треугольнике $BKE$:

$$\frac{KE}{\sin \angle KBE}=\frac{BK}{\sin \angle BEK}\Rightarrow KE=\frac{BK\sin 75^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}.$$

Разделим одно на другое, $BK$ сократится:

$$\frac{CK}{KE}=\frac{{\sin }^{2}45^{\circ }}{\sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }}.$$

Так как $\sin 75^{\circ }=\cos 15^{\circ }$, по формуле синуса двойного угла

$$\sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }=\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }=\frac{1}{2}\sin 30^{\circ }=\frac{1}{4}.$$

Кроме того, ${\sin }^{2}45^{\circ }={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}$. Значит,

$$\frac{CK}{KE}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}=2.$$

Ответ: б) $2:1$.