ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Обозначим $\alpha =\angle PWQ$, $\beta =\angle QPW$. Радиус описанной окружности $R=10$, поэтому $2R=20$. По теореме синусов в треугольнике $PQW$:

$$\frac{PQ}{\sin \alpha }=2R\Rightarrow \sin \alpha =\frac{16}{20}=\frac{4}{5},$$

$$\frac{QW}{\sin \beta }=2R\Rightarrow \sin \beta =\frac{12}{20}=\frac{3}{5}.$$

Угол $\alpha$ острый по условию. Угол $\beta$ лежит против стороны $QW=12$, меньшей, чем сторона $PQ=16$, против которой лежит $\alpha$. Против меньшей стороны лежит меньший угол, поэтому $\beta <\alpha <90^{\circ }$, и $\beta$ тоже острый. Косинусы острых углов положительны, по основному тригонометрическому тождеству

$$\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5},\cos \beta =\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.$$

По формуле синуса суммы

$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{4}{5}\cdot \frac{4}{5}+\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1.$$

Сумма двух углов треугольника лежит в интервале $(0^{\circ };180^{\circ })$, а синус равен $1$ на этом интервале только при $90^{\circ }$. Значит, $\alpha +\beta =90^{\circ }$ и

$$\angle PQW=180^{\circ }-(\alpha +\beta )=90^{\circ }.$$

Треугольник $PQW$ прямоугольный. Что и требовалось доказать.

б) Проведём диагонали $AC$ и $BD$.

Из $AP:PB=1:4$ получаем $PB=\frac{4}{5}AB$, а из $CQ:QB=1:4$ получаем $QB=\frac{4}{5}CB$. У треугольников $BPQ$ и $BAC$ угол $B$ общий и

$$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}=\frac{4}{5},$$

поэтому они подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними с коэффициентом $\frac{4}{5}$. Из подобия $\angle BPQ=\angle BAC$, а это соответственные углы при прямых $PQ$, $AC$ и секущей $AB$, значит, $PQ\parallel AC$. Кроме того,

$$PQ=\frac{4}{5}AC\Rightarrow AC=\frac{5}{4}\cdot 16=20.$$

Точно так же у треугольников $CQW$ и $CBD$ угол $C$ общий и

$$\frac{CQ}{CB}=\frac{CW}{CD}=\frac{1}{5},$$

поэтому они подобны с коэффициентом $\frac{1}{5}$, откуда $QW\parallel BD$ и

$$QW=\frac{1}{5}BD\Rightarrow BD=5\cdot 12=60.$$

По пункту а) $PQ\perp QW$. Прямые $AC$ и $BD$ параллельны соответственно $PQ$ и $QW$, поэтому угол между ними тоже $90^{\circ }$: $AC\perp BD$.

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Здесь угол прямой, поэтому

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 60=600.$$

Ответ: б) $600$.