Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С ₁ и В ₁ соответственно. а) Докажите, что… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности сложная развёрнутое

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С $_{1}$ и В $_{1}$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ $_{1}$ С $_{1}$ .

б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если $∠$ А= $3 0^{\circ}$ , В $_{1}$ С $_{1}$ = $5$ и площадь треугольника АВ $_{1}$ С $_{1}$ в пять раз меньше площади четырёхугольника ВСВ $_{1}$ С $_{1}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Окружность через B, C, B₁, C₁

а) Точки $B$ , $C$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ лежат на одной окружности, причём $B_{1}$ лежит на стороне $A C$ , а $C_{1}$ — на стороне $A B$ . Значит, четырёхугольник $B C B_{1} C_{1}$ вписанный, и сумма его противоположных углов равна $18 0^{\circ}$ :

$∠ C_{1} B_{1} C + ∠ C_{1} B C = 18 0^{\circ} .$

Углы $A B_{1} C_{1}$ и $C_{1} B_{1} C$ смежные, так как $B_{1}$ лежит между $A$ и $C$ . Поэтому

$∠ A B_{1} C_{1} = 18 0^{\circ} - ∠ C_{1} B_{1} C = ∠ C_{1} B C = ∠ A B C .$

У треугольников $A B C$ и $A B_{1} C_{1}$ угол $A$ общий и $∠ A B C = ∠ A B_{1} C_{1}$ . Значит, они подобны по двум углам, причём вершине $B$ соответствует $B_{1}$ , а вершине $C$ — вершина $C_{1}$ . Что и требовалось доказать.

б) Обозначим $S = S_{A B_{1} C_{1}}$ . Тогда $S_{B C B_{1} C_{1}} = 5 S$ , и

$S_{A B C} = S_{A B_{1} C_{1}} + S_{B C B_{1} C_{1}} = 6 S .$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому

$k^{2} = \frac{S _{A B C}}{S _{A B_{1} C_{1}}} = 6 \Rightarrow k = 6, B C = k \cdot B_{1} C_{1} = 56 .$

Найдём радиус $R$ . Стороне $A B$ треугольника $A B C$ соответствует сторона $A B_{1}$ треугольника $A B_{1} C_{1}$ , поэтому $A B_{1} = \frac{A B}{6}$ . Обозначим $A B = c$ , тогда $A B_{1} = \frac{c}{6}$ .

По теореме косинусов в треугольнике $A B B_{1}$ с углом $A = 3 0^{\circ}$ :

$B B_{1}^{2} = c^{2} + \frac{c ^{2}}{6} - 2 \cdot c \cdot \frac{c}{6} \cdot \frac{3}{2} = c^{2} (\frac{7}{6} - \frac{1}{2}) = c^{2} \cdot \frac{7 - 3 2}{6} .$

Отрезок $B B_{1}$ — хорда нашей окружности, а точка $C$ лежит на той же окружности. Обозначим $γ = ∠ A C B$ ; так как $B_{1}$ лежит на $A C$ , то $∠ B C B_{1} = γ$ . Треугольник $B C B_{1}$ вписан в нашу окружность, и по теореме синусов

$B B_{1} = 2 R sin γ .$

Угол $γ$ нам неизвестен, выразим через него и $c$ . По теореме синусов в треугольнике $A B C$ :

$\frac{A B}{sin γ} = \frac{B C}{sin A} \Rightarrow c = \frac{5 6 sin γ}{\frac{1}{2}} = 106 sin γ .$

Подставим в выражение для $B B_{1}$ :

$B B_{1} = 106 sin γ \cdot \frac{7 - 3 2}{6} = 10 sin γ 7 - 32 .$

Приравняем к $2 R sin γ$ и сократим на $sin γ \neq = 0$ :

$2 R sin γ = 10 sin γ 7 - 32 \Rightarrow R = 5 7 - 32 .$

Неизвестный угол $γ$ сократился: радиус не зависит от формы треугольника.

Ответ: б) $B C = 56$ , $R = 5 7 - 32$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18