Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. а) Докажите, что ∠BB₁C₁=∠BAH. б) Найдите… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя развёрнутое

Высоты $B B_{1}$ и $C C_{1}$ остроугольного треугольника $A B C$ пересекаются в точке $H$ .

а) Докажите, что $∠ B B_{1} C_{1} = ∠ B A H$ .

б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника $A B C$ , до стороны $B C$ , если $B_{1} C_{1} = 18$ и $∠ B A C = 3 0^{\circ}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Высоты BB₁ и CC₁, расстояние OK от центра описанной окружности до BC

Треугольник остроугольный, поэтому основания высот лежат на сторонах ( $B_{1}$ — на $A C$ , $C_{1}$ — на $A B$ ), а точка $H$ лежит внутри треугольника — на отрезках $B B_{1}$ и $C C_{1}$ .

а) Углы $A C_{1} H$ и $A B_{1} H$ прямые, так как $C C_{1}$ и $B B_{1}$ — высоты. Из точек $C_{1}$ и $B_{1}$ отрезок $A H$ виден под прямым углом, поэтому обе точки лежат на окружности с диаметром $A H$ . На этой окружности точки идут в порядке $A$ , $C_{1}$ , $H$ , $B_{1}$ , то есть $A$ и $B_{1}$ лежат по одну сторону от хорды $H C_{1}$ .

Вписанные углы $H B_{1} C_{1}$ и $H A C_{1}$ опираются на одну и ту же дугу $H C_{1} ⌣$ , поэтому они равны:

$∠ H B_{1} C_{1} = ∠ H A C_{1} .$

Точка $H$ лежит на отрезке $B B_{1}$ , поэтому $∠ B B_{1} C_{1} = ∠ H B_{1} C_{1}$ . Точка $C_{1}$ лежит на отрезке $A B$ , поэтому $∠ H A C_{1} = ∠ B A H$ . Значит,

$∠ B B_{1} C_{1} = ∠ B A H .$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $O$ — центр описанной окружности, $R$ — её радиус, $O K$ — перпендикуляр к $B C$ .

В прямоугольном треугольнике $A B B_{1}$ ( $∠ A B_{1} B = 9 0^{\circ}$ ) прилежащий к углу $A$ катет равен $A B_{1} = A B cos A$ . Аналогично в треугольнике $A C C_{1}$ : $A C_{1} = A C cos A$ . Значит,

$\frac{A B _{1}}{A B} = \frac{A C _{1}}{A C} = cos A .$

Угол $A$ у треугольников $A B_{1} C_{1}$ и $A B C$ общий, поэтому они подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними с коэффициентом $cos A$ . Отсюда $B_{1} C_{1} = B C cos A$ , и

$B C = \frac{B _{1} C _{1}}{cos 3 0 ^{\circ}} = \frac{18}{\frac{3}{2}} = \frac{36}{3} = 123 .$

По теореме синусов $\frac{B C}{sin A} = 2 R$ :

$R = \frac{B C}{2 sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{12 3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 123 .$

Треугольник остроугольный, поэтому центр $O$ лежит внутри него, по ту же сторону от $B C$ , что и $A$ . Центральный угол $B O C$ опирается на ту же дугу, что и вписанный угол $B A C$ , поэтому

$∠ B O C = 2∠ B A C = 6 0^{\circ} .$

Треугольник $B O C$ равнобедренный ( $O B = O C = R$ ) с углом $6 0^{\circ}$ при вершине, значит, он равносторонний со стороной $123$ . Расстояние от $O$ до $B C$ — его высота $O K$ :

$O K = \frac{3}{2} \cdot 123 = 18.$

Ответ: б) $18$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18