ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

Угол $C$ прямой, высота $CH$ проведена к гипотенузе, поэтому точка $H$ лежит на отрезке $AB$. Биссектриса $AM$ треугольника $ACH$ проведена из вершины $A$, поэтому $M$ лежит на $CH$; биссектриса $CN$ треугольника $BCH$ проведена из вершины $C$, поэтому $N$ лежит на $HB$.

а) Найдём углы. В треугольнике $ABC$: $\angle CAH=\angle CAB=90^{\circ }-\angle ABC$. В прямоугольном треугольнике $CHB$: $\angle HCB=90^{\circ }-\angle HBC=90^{\circ }-\angle ABC$. Значит,

$$\angle CAH=\angle HCB,$$

и равны их половины:

$$\angle MAH=\frac{1}{2}\angle CAH=\frac{1}{2}\angle HCB=\angle HCN.$$

Пусть $K$ — точка пересечения прямых $AM$ и $CN$. Луч $AM$ проходит через точку $M$ отрезка $CH$ внутрь треугольника $CHB$ и пересекает в нём отрезок $CN$, поэтому $M$ лежит между $A$ и $K$. Кроме того, $M$ лежит между $C$ и $H$.

Рассмотрим треугольники $AHM$ и $CKM$. В них $\angle MAH=\angle MCK$ (это угол $HCN$), а $\angle AMH=\angle CMK$ как вертикальные. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то равны и третьи углы:

$$\angle CKM=\angle AHM=90^{\circ }.$$

Значит, прямые $AM$ и $CN$ перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

б) Точка $H$ лежит на $AB$, поэтому угол $HAC$ — это угол $BAC$, и прямая $AM$ — биссектриса угла $A$ всего треугольника $ABC$. Пусть она пересекает $BC$ в точке $T$. На этой прямой точки идут в порядке $A$, $M$, $K$, $T$.

Рассмотрим треугольник $ACN$. Точка $N$ лежит на $AB$, поэтому $AK$ — биссектриса угла $CAN$, а по пункту а) $AK\perp CN$. Если биссектриса треугольника является высотой, то треугольник равнобедренный: $AC=AN$, и эта биссектриса — ещё и медиана, то есть $CK=KN$.

Значит, прямая $AK$ — серединный перпендикуляр к отрезку $CN$. Точка $M$ лежит на нём, поэтому она равноудалена от концов отрезка:

$$MN=CM.$$

Рассмотрим треугольник $MCT$. Точка $M$ лежит на $CH$, точка $T$ — на $CB$, а $CN$ — биссектриса угла $HCB$, поэтому $CK$ — биссектриса угла $MCT$. Кроме того, $CK\perp MT$. Снова биссектриса совпала с высотой, значит, треугольник $MCT$ равнобедренный:

$$CM=CT.$$

Итак, $MN=CM=CT$, осталось найти $CT$. По свойству биссектрисы $AT$ треугольника $ABC$

$$\frac{CT}{TB}=\frac{AC}{AB}.$$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ отношение катета $AC$, противолежащего углу $B$, к гипотенузе $AB$ равно $\sin \angle ABC=\frac{1}{3}$. Значит, $CT:TB=1:3$, и при $BC=CT+TB=20$ получаем

$$CT=\frac{20}{4}=5,TB=15.$$

Следовательно, $MN=CT=5$.

Ответ: б) $5$.