На медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя 2015 развёрнутое

На медиане $B M$ равнобедренного треугольника $A B C$ как на диаметре построена окружность, которая второй раз пересекает основание $B C$ в точке $P .$

а) Докажите, что $P B = 3 C P .$

б) Пусть данная окружность пересекает сторону $A B$ в точке $L .$ Найдите $A B,$ если $B P = 18,$ $B L = 17.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

У треугольника $A B C$ основание $B C$ , значит, $A B = A C$ . Медиана $B M$ проведена к боковой стороне, $M$ — середина $A C$ .

а) Точка $P$ лежит на окружности с диаметром $B M$ и отлична от $B$ , поэтому вписанный угол $B P M$ опирается на диаметр и равен $9 0^{\circ}$ . Значит, $M P ⊥ B C$ .

Проведём высоту $A H$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой, поэтому $H$ — середина $B C$ :

$B H = H C = \frac{1}{2} B C .$

Прямые $A H$ и $M P$ перпендикулярны одной прямой $B C$ , значит, $A H ∥ M P$ .

В треугольнике $A H C$ прямая $M P$ проходит через середину $M$ стороны $A C$ параллельно стороне $A H$ . По теореме Фалеса она делит сторону $H C$ пополам, то есть $P$ — середина $H C$ . Тогда

$P C = \frac{1}{2} H C = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} B C = \frac{1}{4} B C, B P = B C - P C = \frac{3}{4} B C = 3 P C .$

Что и требовалось доказать.

б) По пункту а) $B P = 3 P C$ , поэтому $P C = \frac{18}{3} = 6$ и $B C = 24$ .

Обозначим $A M = M C = x$ , тогда $A B = A C = 2 x$ .

Точка $L$ лежит на окружности с диаметром $B M$ и отлична от $B$ , поэтому $∠ B L M = 9 0^{\circ}$ как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Значит, $M L ⊥ A B$ . Точка $L$ лежит на стороне $A B$ , поэтому

$A L = A B - B L = 2 x - 17.$

Выразим нужные отрезки по теореме Пифагора в четырёх прямоугольных треугольниках.

Из треугольника $M P C$ ( $∠ M P C = 9 0^{\circ}$ ):

$M P^{2} = M C^{2} - P C^{2} = x^{2} - 36.$

Из треугольника $B P M$ ( $∠ B P M = 9 0^{\circ}$ ):

$B M^{2} = B P^{2} + M P^{2} = 324 + x^{2} - 36 = x^{2} + 288.$

Из треугольника $B L M$ ( $∠ B L M = 9 0^{\circ}$ ):

$L M^{2} = B M^{2} - B L^{2} = x^{2} + 288 - 289 = x^{2} - 1.$

Из треугольника $A L M$ ( $∠ A L M = 9 0^{\circ}$ ):

$A M^{2} = A L^{2} + L M^{2} \Rightarrow x^{2} = (2 x - 17)^{2} + x^{2} - 1 \Rightarrow (2 x - 17)^{2} = 1.$

Отсюда $2 x - 17 = 1$ или $2 x - 17 = - 1$ . Но $2 x - 17 = A L$ — длина отрезка, она не может быть отрицательной. Второй случай означал бы $A B = 16 < B L = 17$ , то есть точка $L$ лежала бы вне стороны $A B$ . Поэтому

$2 x - 17 = 1 \Rightarrow A B = 2 x = 18.$

Треугольник со сторонами $18$ , $18$ , $24$ существует, так как $18 + 18 > 24$ .

Ответ: б) $18$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18