Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причем… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Квадрат, прямоугольник, ромб сложная 2023 развёрнутое

Прямая, перпендикулярная стороне $B C$ ромба $A B C D,$ пересекает его диагональ $A C$ в точке $M,$ а диагональ $B D$ в точке $N,$ причем $A M : M C = 1 : 2,$ $B N : N D = 1 : 3.$

а) Докажите, что прямая $M N$ делит сторону ромба $B C$ в отношении $1 : 4.$

б) Найдите сторону ромба, если $M N = 12 .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба, а прямая $M N$ пересекает стороны $B C$ и $A D$ в точках $F$ и $E$ . По условию $E F ⊥ B C$ , а так как $B C ∥ A D$ , то и $E F ⊥ A D$ .

Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Выразим через них все нужные отрезки.

Пусть $B N = x$ . Из $B N : N D = 1 : 3$ получаем $N D = 3 x$ , $B D = 4 x$ , поэтому

$B O = O D = \frac{B D}{2} = 2 x, N O = B O - B N = x .$

Значит, $N$ — середина отрезка $B O$ .

Пусть $A M = y$ . Из $A M : M C = 1 : 2$ получаем $M C = 2 y$ , $A C = 3 y$ , поэтому

$A O = O C = \frac{3 y}{2}, M O = A O - A M = \frac{3 y}{2} - y = \frac{y}{2} .$

Итак, $N$ лежит между $B$ и $O$ , а $M$ — между $A$ и $O$ .

а) Рассмотрим треугольник $B O C$ и прямую $F M N$ . Она проходит через точку $N$ стороны $B O$ , а прямую $O C$ пересекает в точке $M$ на продолжении стороны $C O$ за точку $O$ . Прямая, вошедшая в треугольник через сторону $B O$ , должна выйти через другую сторону; сторону $O C$ она не пересекает, значит, пересекает сторону $B C$ — в точке $F$ .

По теореме Менелая для треугольника $B O C$ и секущей $F M N$ :

$\frac{B F}{F C} \cdot \frac{C M}{M O} \cdot \frac{O N}{N B} = 1.$

Подставим $C M = 2 y$ , $M O = \frac{y}{2}$ , $O N = N B = x$ :

$\frac{B F}{F C} \cdot \frac{2 y}{\frac{y}{2}} \cdot \frac{x}{x} = 1 \Rightarrow \frac{B F}{F C} \cdot 4 = 1 \Rightarrow \frac{B F}{F C} = \frac{1}{4} .$

Значит, прямая $M N$ делит сторону $B C$ в отношении $1 : 4$ . Что и требовалось доказать.

б) Сначала найдём, как точка $E$ делит сторону $A D$ . Применим теорему Менелая к треугольнику $A O D$ и секущей $E M N$ : точка $M$ лежит на стороне $A O$ , точка $N$ — на продолжении стороны $D O$ за точку $O$ , точка $E$ — на стороне $A D$ .

$\frac{A E}{E D} \cdot \frac{D N}{N O} \cdot \frac{O M}{M A} = 1 \Rightarrow \frac{A E}{E D} \cdot \frac{3 x}{x} \cdot \frac{\frac{y}{2}}{y} = 1 \Rightarrow \frac{A E}{E D} \cdot \frac{3}{2} = 1 \Rightarrow \frac{A E}{E D} = \frac{2}{3} .$

Значит, $A D$ состоит из $5$ частей, на $A E$ приходится две из них: $\frac{E A}{A D} = \frac{2}{5}$ .

Теперь найдём $M E$ . Применим теорему Менелая к треугольнику $N D E$ и секущей $A M O$ : точка $O$ лежит на стороне $N D$ , точка $M$ — на стороне $N E$ , точка $A$ — на продолжении стороны $D E$ за точку $E$ .

$\frac{D O}{O N} \cdot \frac{N M}{M E} \cdot \frac{E A}{A D} = 1 \Rightarrow \frac{2 x}{x} \cdot \frac{12}{M E} \cdot \frac{2}{5} = 1 \Rightarrow M E = \frac{4 12}{5} .$

Рассмотрим треугольники $N M O$ и $A M E$ . В них $∠ N O M = 9 0^{\circ}$ (диагонали ромба перпендикулярны) и $∠ A E M = 9 0^{\circ}$ (так как $E F ⊥ A D$ ), а углы $N M O$ и $A M E$ равны как вертикальные. Значит, треугольники подобны по двум углам, причём $N$ соответствует $A$ , а $O$ соответствует $E$ . Из подобия

$\frac{N M}{A M} = \frac{M O}{M E} \Rightarrow A M \cdot M O = N M \cdot M E .$

Подставим известные величины:

$y \cdot \frac{y}{2} = 12 \cdot \frac{4 12}{5} = \frac{48}{5} \Rightarrow y^{2} = \frac{96}{5} .$

В прямоугольном треугольнике $N O M$ по теореме Пифагора

$N O^{2} = N M^{2} - M O^{2} \Rightarrow x^{2} = 12 - \frac{y ^{2}}{4} = 12 - \frac{24}{5} = \frac{36}{5} .$

Сторону ромба найдём из прямоугольного треугольника $A O B$ по теореме Пифагора:

$A B^{2} = B O^{2} + A O^{2} = (2 x)^{2} + (\frac{3 y}{2})^{2} = 4 \cdot \frac{36}{5} + \frac{9}{4} \cdot \frac{96}{5} = \frac{144}{5} + \frac{216}{5} = 72.$

Значит, $A B = 72 = 62$ .

Ответ: б) $62$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18