ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Угол $ACB$ прямой, так как $AC$ и $BC$ — катеты. Точка $N$ лежит на продолжении катета $BC$ за точку $C$, поэтому лучи $CB$ и $CN$ противоположны, а углы $NCA$ и $ACB$ — смежные:

$$\angle NCA+\angle ACB=180^{\circ }.$$

Точка $M$ лежит на катете $AC$, значит, луч $CM$ совпадает с лучом $CA$, и $\angle NCM=\angle NCA$.

$CP$ — биссектриса угла $ACB$, поэтому $\angle ACP=\frac{1}{2}\angle ACB$. $CQ$ — биссектриса угла $NCM$, то есть угла $NCA$, поэтому $\angle QCA=\frac{1}{2}\angle NCA$.

Точки $N$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $AC$. Луч $CQ$ проходит внутри угла $NCA$, а луч $CP$ — внутри угла $ACB$, поэтому луч $CA$ лежит между лучами $CQ$ и $CP$, и угол $QCP$ складывается из двух половинок:

$$\angle QCP=\angle QCA+\angle ACP=\frac{1}{2}\angle NCA+\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2}\left(\angle NCA+\angle ACB\right)=\frac{1}{2}\cdot 180^{\circ }=90^{\circ }.$$

Значит, $CP\perp CQ$. Что и требовалось доказать.

б) По пункту а) $\angle PCQ=90^{\circ }$, то есть треугольник $PCQ$ прямоугольный с гипотенузой $PQ$. По теореме Пифагора

$$P{Q}^2=C{P}^2+C{Q}^2.$$

Сравним треугольники $ABC$ и $NMC$. По условию $CN=AC=5$ и $CM=BC=3$. Угол $NCM$ смежный с прямым углом $ACB$, поэтому

$$\angle NCM=180^{\circ }-\angle ACB=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }=\angle ACB.$$

Значит, треугольники $ABC$ и $NMC$ равны по двум сторонам и углу между ними, причём стороне $CA$ соответствует сторона $CN$, а стороне $CB$ — сторона $CM$. В равных треугольниках равны и соответствующие биссектрисы, проведённые из вершин равных углов. Биссектриса $CP$ прямого угла $ACB$ соответствует биссектрисе $CQ$ прямого угла $NCM$, поэтому $CQ=CP$ и

$$PQ=\sqrt{C{P}^2+C{P}^2}=\sqrt{2C{P}^2}.$$

Осталось найти $CP$. По теореме Пифагора в треугольнике $ABC$:

$$AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}.$$

По свойству биссектрисы треугольника $CP$ делит сторону $AB$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$\frac{BP}{PA}=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}.$$

Значит, $AB$ состоит из $3+5=8$ равных частей, и на $BP$ приходится три из них:

$$BP=\frac{3}{8}AB=\frac{3\sqrt{34}}{8}.$$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$$\cos \angle CBP=\cos \angle ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{\sqrt{34}}.$$

Применим теорему косинусов в треугольнике $BCP$:

$$C{P}^2=B{C}^2+B{P}^2-2\cdot BC\cdot BP\cdot \cos \angle CBP=9+\frac{9\cdot 34}{64}-2\cdot 3\cdot \frac{3\sqrt{34}}{8}\cdot \frac{3}{\sqrt{34}}.$$

Посчитаем каждое слагаемое: $\frac{9\cdot 34}{64}=\frac{153}{32}$, а последнее слагаемое равно $\frac{54}{8}=\frac{27}{4}=\frac{216}{32}$. Тогда

$$C{P}^2=\frac{288}{32}+\frac{153}{32}-\frac{216}{32}=\frac{225}{32}.$$

Подставим в формулу для $PQ$:

$$PQ=\sqrt{2\cdot \frac{225}{32}}=\sqrt{\frac{225}{16}}=\frac{15}{4}=3,75.$$

Ответ: б) $3,75$.