Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причем меньшая… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности сложная 2023 развёрнутое

Две окружности касаются внутренним образом в точке $K,$ причем меньшая проходит через центр большей. Хорда $M N$ большей окружности касается меньшей в точке $C .$ Хорды $K M$ и $K N$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$ соответственно, а отрезки $K C$ и $A B$ пересекаются в точке $L .$

a) Докажите, что $N C : C M = B L : L A .$

б) Найдите $M N,$ если $B L : L A = 3 : 2,$ а радиус малой окружности равен $23 .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Пусть $O_{1}$ и $R$ — центр и радиус большей окружности, $O_{2}$ и $r$ — центр и радиус меньшей.

а) Центры касающихся окружностей и точка касания лежат на одной прямой, поэтому точки $K$ , $O_{2}$ , $O_{1}$ лежат на одной прямой. Прямая $K O_{2}$ проходит через центр меньшей окружности и пересекает её в концах диаметра. Точка $O_{1}$ лежит на меньшей окружности, на этой прямой и отлична от $K$ , значит, $K O_{1}$ — диаметр меньшей окружности. В частности, $R = K O_{1} = 2 r$ .

Точка $A$ лежит на меньшей окружности, а $K O_{1}$ — её диаметр, поэтому вписанный угол $K A O_{1}$ прямой, то есть $O_{1} A ⊥ K M$ (если $A$ совпадает с $O_{1}$ , то $K M$ — диаметр большей окружности и $A$ — его середина). Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит хорду пополам. Значит, $A$ — середина хорды $K M$ большей окружности. Точно так же $B$ — середина хорды $K N$ .

Тогда $A B$ — средняя линия треугольника $K M N$ , и $A B ∥ M N$ .

Рассмотрим треугольник $K M C$ . Точка $A$ — середина $K M$ , а прямая $A L$ параллельна $M C$ , поэтому по теореме Фалеса $L$ — середина $K C$ , и $A L$ — средняя линия: $A L = \frac{1}{2} M C$ . В треугольнике $K N C$ точки $B$ и $L$ — середины сторон $K N$ и $K C$ , поэтому $B L = \frac{1}{2} N C$ . Следовательно,

$\frac{B L}{L A} = \frac{\frac{1}{2} N C}{\frac{1}{2} M C} = \frac{N C}{C M} .$

Что и требовалось доказать.

Параллельность $A B$ и $M N$ можно получить и через общую касательную $l$ к окружностям в точке $K$ : угол между касательной $l$ и хордой $K A$ равен вписанному углу $K B A$ меньшей окружности, а угол между $l$ и хордой $K M$ (это тот же угол) равен вписанному углу $K N M$ большей окружности. Значит, $∠ K B A = ∠ K N M$ , и $A B ∥ M N$ по признаку параллельности (соответственные углы).

б) По пункту а) $N C : C M = B L : L A = 3 : 2$ . Пусть $C M = 2 t$ , $N C = 3 t$ , тогда $M N = 5 t$ .

Из точки $M$ к меньшей окружности проведены касательная $M C$ (хорда $M N$ касается меньшей окружности в точке $C$ ) и секущая $M K$ , пересекающая окружность в точках $A$ и $K$ . По теореме о касательной и секущей

$M C^{2} = M A \cdot M K .$

Так как $A$ — середина $K M$ , то $M A = \frac{1}{2} M K$ , и

$M C^{2} = \frac{1}{2} M K^{2}, M K = M C 2 = 22 t .$

Точно так же для точки $N$ : $N C^{2} = N B \cdot N K = \frac{1}{2} N K^{2}$ , откуда $N K = N C 2 = 32 t$ .

Найдём косинус угла $M K N$ по теореме косинусов в треугольнике $K M N$ :

$cos ∠ M K N = \frac{K M ^{2} + K N ^{2} - M N ^{2}}{2 \cdot K M \cdot K N} = \frac{8 t ^{2} + 18 t ^{2} - 25 t ^{2}}{2 \cdot 2 2 t \cdot 3 2 t} = \frac{t ^{2}}{24 t ^{2}} = \frac{1}{24} .$

Угол треугольника лежит между $0^{\circ}$ и $18 0^{\circ}$ , поэтому его синус положителен:

$sin ∠ M K N = 1 - \frac{1}{576} = \frac{575}{576} = \frac{5 23}{24} .$

Треугольник $K M N$ вписан в большую окружность радиуса $R = 2 r = 223$ . По теореме синусов

$M N = 2 R sin ∠ M K N = 423 \cdot \frac{5 23}{24} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 23}{24} = \frac{115}{6} .$

Ответ: б) $\frac{115}{6}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18