ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

а) В треугольнике $AKE$

$$A{K}^2+K{E}^2=3^2+2^2=13={\left(\sqrt{13}\right)}^2=A{E}^2.$$

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $AKE$ прямоугольный с прямым углом $K$: $\angle AKE=90^{\circ }$.

Все углы квадрата прямые, поэтому треугольник $ABK$ прямоугольный, и сумма его острых углов равна $90^{\circ }$:

$$\angle BAK+\angle BKA=90^{\circ }.$$

Отрезок $AK$ разрезает квадрат на треугольник $ABK$ и четырёхугольник $AKCD$. Точка $E$ лежит на стороне $CD$, то есть по другую сторону от прямой $AK$, чем точка $B$. Поэтому луч $KA$ проходит между лучами $KB$ и $KE$, и углы $BKA$, $AKE$, $EKC$ вместе составляют развёрнутый угол $BKC$:

$$\angle BKA+\angle AKE+\angle CKE=180^{\circ },\angle BKA+\angle CKE=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }.$$

Сравним два полученных равенства:

$$\angle BAK=90^{\circ }-\angle BKA=\angle CKE.$$

Что и требовалось доказать.

б) Треугольники $ABK$ и $KCE$ прямоугольные ($\angle ABK=\angle KCE=90^{\circ }$) и $\angle BAK=\angle CKE$ по пункту а). Значит, они подобны по двум углам, причём вершине $A$ соответствует $K$, вершине $B$ — вершина $C$, вершине $K$ — вершина $E$. Отношение соответствующих сторон равно отношению гипотенуз:

$$\frac{AB}{KC}=\frac{AK}{KE}=\frac{3}{2}.$$

Пусть $AB=3x$, тогда $KC=2x$. Стороны квадрата равны, поэтому $BC=AB=3x$ и

$$BK=BC-KC=3x-2x=x.$$

По теореме Пифагора для треугольника $ABK$:

$$A{B}^2+B{K}^2=A{K}^2,9x^2+x^2=9,x^2=\frac{9}{10}.$$

Площадь квадрата:

$$S_{ABCD}=A{B}^2=9x^2=\frac{81}{10}=8,1.$$

Проверка. Из подобия $CE=\frac{2}{3}BK=\frac{2x}{3}$, тогда $DE=3x-\frac{2x}{3}=\frac{7x}{3}$ и $A{E}^2=A{D}^2+D{E}^2=9x^2+\frac{49x^2}{9}=\frac{130x^2}{9}=\frac{130}{9}\cdot \frac{9}{10}=13$ — совпадает с условием.

Ответ: б) $8,1$.