ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) По теореме синусов в треугольнике $PQW$ каждая сторона, делённая на синус противолежащего угла, равна $2R=2\cdot \frac{25}{4}=\frac{25}{2}$:

$$\frac{PQ}{\sin \angle PWQ}=\frac{25}{2},\sin \angle PWQ=\frac{2\cdot 12}{25}=\frac{24}{25};$$

$$\frac{QW}{\sin \angle QPW}=\frac{25}{2},\sin \angle QPW=\frac{2}{25}\cdot \frac{7}{2}=\frac{7}{25}.$$

По условию угол $W$ острый, поэтому его косинус положителен:

$$\cos \angle PWQ=\sqrt{1-{\sin }^2\angle PWQ}=\sqrt{1-\frac{576}{625}}=\sqrt{\frac{49}{625}}=\frac{7}{25}.$$

Получили $\sin \angle QPW=\cos \angle PWQ=\sin \left(90^{\circ }-\angle PWQ\right)$. Два угла из промежутка $(0^{\circ };180^{\circ })$ с равными синусами либо равны, либо в сумме дают $180^{\circ }$, поэтому

$$\angle QPW=90^{\circ }-\angle PWQ\text{или}\angle QPW=90^{\circ }+\angle PWQ.$$

Второй случай невозможен. Угол $PWQ$ острый и $\sin \angle PWQ=\frac{24}{25}>\frac{\sqrt{2}}{2}$, значит, $\angle PWQ>45^{\circ }$ (то же видно из $\mathrm{tg}\angle PWQ=\frac{24}{7}>1$). Тогда во втором случае $\angle QPW+\angle PWQ=90^{\circ }+2\angle PWQ>180^{\circ }$, чего в треугольнике быть не может.

Значит, $\angle QPW+\angle PWQ=90^{\circ }$, и по сумме углов треугольника

$$\angle PQW=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }.$$

Треугольник $PQW$ прямоугольный. Что и требовалось доказать.

Для проверки: гипотенуза прямоугольного треугольника — диаметр описанной окружности, $PW=\frac{25}{2}$, и действительно $P{Q}^2+Q{W}^2=144+\frac{49}{4}=\frac{625}{4}=P{W}^2$.

б) Из $AP:PB=1:2$ следует $BP:BA=2:3$, из $CQ:QB=1:2$ следует $BQ:BC=2:3$. Треугольники $PBQ$ и $ABC$ имеют общий угол $B$ и пропорциональные прилежащие к нему стороны, поэтому подобны по второму признаку с коэффициентом $\frac{2}{3}$:

$$\frac{PQ}{AC}=\frac{2}{3},AC=\frac{3}{2}\cdot PQ=\frac{3}{2}\cdot 12=18.$$

Кроме того, из подобия $\angle BPQ=\angle BAC$. Это соответственные углы при прямых $PQ$, $AC$ и секущей $AB$, поэтому $PQ\parallel AC$.

Аналогично $CQ:CB=1:3$ и $CW:CD=1:3$, поэтому треугольники $QCW$ и $BCD$ подобны (общий угол $C$ и пропорциональные прилежащие стороны) с коэффициентом $\frac{1}{3}$:

$$\frac{QW}{BD}=\frac{1}{3},BD=3\cdot QW=3\cdot \frac{7}{2}=\frac{21}{2}.$$

Из подобия $\angle CWQ=\angle CDB$ — соответственные углы при прямых $QW$, $BD$ и секущей $CD$, поэтому $QW\parallel BD$.

По пункту а) $PQ\perp QW$. Прямые $AC$ и $BD$ параллельны соответственно прямым $PQ$ и $QW$, значит, $AC\perp BD$.

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними; здесь угол прямой:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot \frac{21}{2}=\frac{189}{2}.$$

Ответ: б) $\frac{189}{2}$.