ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Пусть $\angle ABC=\alpha$, тогда $\angle BAC=2\alpha$.

а) Угол $AOC$ — центральный угол окружности, описанной около треугольника $ABC$. Он опирается на дугу $AC$, не содержащую $B$, на ту же дугу опирается вписанный угол $ABC$. Центральный угол вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу:

$$\angle AOC=2\angle ABC=2\alpha .$$

Точки $A$, $O$, $P$, $C$ лежат на одной окружности. Треугольник $ABC$ остроугольный, поэтому центр $O$ лежит внутри него, то есть по ту же сторону от прямой $AC$, что и $B$. Точка $P$ лежит на стороне $BC$ и отлична от $C$, поэтому она тоже по эту сторону от $AC$. Значит, вписанные углы $APC$ и $AOC$ опираются на одну дугу $AC$ и равны:

$$\angle APC=\angle AOC=2\alpha =\angle BAC.$$

У треугольников $ABC$ и $PAC$ угол $C$ общий, а $\angle BAC=\angle APC$. По признаку подобия по двум углам $△ABC\sim △PAC$, причём вершине $A$ соответствует $P$, вершине $B$ — вершина $A$, вершине $C$ — вершина $C$. Что и требовалось доказать.

б) Запишем отношение соответствующих сторон, прилежащих к общему углу $C$:

$$\frac{AC}{PC}=\frac{BC}{AC},PC=\frac{A{C}^2}{BC}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}.$$

Тогда $BP=BC-PC=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$.

Из подобия углу $B$ треугольника $ABC$ соответствует угол $A$ треугольника $PAC$, поэтому $\angle PAC=\angle ABC=\alpha$. Тогда

$$\angle BAP=\angle BAC-\angle PAC=2\alpha -\alpha =\alpha ,$$

то есть $AP$ — биссектриса угла $BAC$. По свойству биссектрисы

$$\frac{AB}{AC}=\frac{BP}{PC},AB=\frac{AC\cdot BP}{PC}=\frac{4\cdot \frac{10}{3}}{\frac{8}{3}}=5.$$

Проверка. Наибольшая сторона $BC=6$, и $36<16+25=41$, так что треугольник остроугольный. По теореме косинусов $\cos B=\frac{25+36-16}{2\cdot 5\cdot 6}=\frac{3}{4}$, $\cos A=\frac{25+16-36}{2\cdot 5\cdot 4}=\frac{1}{8}$, и действительно $\cos 2B=2\cdot \frac{9}{16}-1=\frac{1}{8}=\cos A$, то есть $\angle A=2\angle B$.

Ответ: б) $5$.