На сторонах AB, BC, AC треугольника ABC отмечены точки C₁, A₁, B₁… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Параллелограммы сложная 2020 развёрнутое

На сторонах $A B,$ $B C,$ $A C$ треугольника $A B C$ отмечены точки $C_{1},$ $A_{1},$ $B_{1}$ соответственно, причём $A C_{1} : C_{1} B = 8 : 3,$ $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 2,$ $C B_{1} : B_{1} A = 3 : 1.$ Отрезки $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в точке $D .$

а) Докажите, что $A D A_{1} B_{1}$ — параллелограмм.

б) Найдите $C D,$ если отрезки $A D$ и $B C$ перпендикулярны и $A C = 28,$ $B C = 18.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Введём обозначения по условию: $A C = 4 z$ , тогда $A B_{1} = z$ , $B_{1} C = 3 z$ ; $B C = 3 y$ , тогда $B A_{1} = y$ , $A_{1} C = 2 y$ ; кроме того, $A C_{1} : C_{1} B = 8 : 3$ .

а) Применим теорему Менелая к треугольнику $A B B_{1}$ и прямой $C C_{1}$ . Эта прямая пересекает сторону $A B$ в точке $C_{1}$ , сторону $B B_{1}$ в точке $D$ и продолжение стороны $A B_{1}$ за точку $B_{1}$ в точке $C$ :

$\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B D}{D B _{1}} \cdot \frac{B _{1} C}{C A} = 1, \frac{8}{3} \cdot \frac{B D}{D B _{1}} \cdot \frac{3 z}{4 z} = 1, \frac{B D}{D B _{1}} = \frac{1}{2} .$

Значит, $B D = \frac{1}{3} B B_{1}$ . Кроме того, $B A_{1} = \frac{1}{3} B C$ .

Рассмотрим треугольники $B D A_{1}$ и $B B_{1} C$ . Угол $B$ у них общий, а прилежащие к нему стороны пропорциональны:

$\frac{B D}{B B _{1}} = \frac{B A _{1}}{B C} = \frac{1}{3} .$

По второму признаку подобия (две стороны и угол между ними) треугольники подобны с коэффициентом $\frac{1}{3}$ . Отсюда:

$∠ B D A_{1} = ∠ B B_{1} C$ , а это соответственные углы при прямых $D A_{1}$ , $B_{1} C$ и секущей $B B_{1}$ , поэтому $D A_{1} ∥ B_{1} C$ , то есть $D A_{1} ∥ A B_{1}$ ;
$D A_{1} = \frac{1}{3} B_{1} C = \frac{1}{3} \cdot 3 z = z = A B_{1}$ .

В четырёхугольнике $A D A_{1} B_{1}$ противоположные стороны $D A_{1}$ и $A B_{1}$ параллельны и равны, значит, это параллелограмм. Что и требовалось доказать.

б) Из $A C = 28 = 4 z$ и $B C = 18 = 3 y$ получаем $z = 7$ , $y = 6$ :

$A B_{1} = 7, B_{1} C = 21, B A_{1} = 6, A_{1} C = 12, D A_{1} = A B_{1} = 7.$

Точка $D$ лежит внутри треугольника, поэтому луч $A D$ пересекает сторону $B C$ в некоторой точке $H$ . По условию $A D ⊥ B C$ , значит, $∠ A H C = 9 0^{\circ}$ .

Применим теорему Менелая к треугольнику $B_{1} B C$ и прямой $A H$ . Она пересекает сторону $B B_{1}$ в точке $D$ , сторону $B C$ в точке $H$ и продолжение стороны $C B_{1}$ за точку $B_{1}$ в точке $A$ :

$\frac{B D}{D B _{1}} \cdot \frac{B _{1} A}{A C} \cdot \frac{C H}{H B} = 1, \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{28} \cdot \frac{C H}{H B} = 1, \frac{C H}{H B} = 8.$

Так как $C H + H B = B C = 18$ , получаем $H B = 2$ , $C H = 16$ . Поскольку $C A_{1} = 12 < C H = 16$ , точка $A_{1}$ лежит между $H$ и $C$ , и

$H A_{1} = C H - C A_{1} = 16 - 12 = 4.$

Точка $D$ лежит на прямой $A H$ , поэтому треугольник $D H A_{1}$ прямоугольный с прямым углом $H$ . По теореме Пифагора

$D H^{2} = D A_{1}^{2} - H A_{1}^{2} = 49 - 16 = 33.$

Из прямоугольного треугольника $D H C$ по теореме Пифагора

$C D^{2} = D H^{2} + H C^{2} = 33 + 1 6^{2} = 33 + 256 = 289, C D = 17.$

Проверим $C H$ другим способом. В параллелограмме $A D A_{1} B_{1}$ сторона $A_{1} B_{1}$ параллельна $A D$ , поэтому $A_{1} B_{1} ⊥ B C$ . Из прямоугольного треугольника $C A_{1} B_{1}$ $cos C = \frac{C A _{1}}{C B _{1}} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$ , а из прямоугольного треугольника $A H C$ $C H = A C cos C = 28 \cdot \frac{4}{7} = 16$ — совпало.

Ответ: б) $17$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18