ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Окружность с диаметром $BN$ описана около треугольника $ABC$, её центр $O$ — середина $BN$. Треугольник остроугольный, поэтому центр $O$ лежит внутри треугольника, а основание $H$ высоты $BH$ лежит на стороне $AC$.

а) Чтобы доказать равенство хорд $AN$ и $CK$, достаточно доказать равенство вписанных углов $ABN$ и $CBK$, которые на них опираются.

Угол $BAN$ вписанный и опирается на диаметр $BN$, поэтому $\angle BAN=90^{\circ }$.

Точка $N$ лежит на луче $BO$ за точкой $O$, а $O$ находится внутри треугольника, поэтому $N$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $AB$. Значит, вписанные углы $ANB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$ и равны: $\angle ANB=\angle ACB$.

Из прямоугольного треугольника $ABN$:

$$\angle ABN=90^{\circ }-\angle ANB=90^{\circ }-\angle ACB.$$

Из прямоугольного треугольника $BHC$ (угол $H$ прямой, так как $BH$ — высота):

$$\angle HBC=90^{\circ }-\angle HCB=90^{\circ }-\angle ACB.$$

Точка $K$ лежит на луче $BH$, поэтому $\angle KBC=\angle HBC=\angle ABN$.

Треугольники $ABN$ и $KBC$ вписаны в одну окружность радиуса $R$. По теореме синусов

$$AN=2R\sin \angle ABN,CK=2R\sin \angle KBC.$$

Углы равны, поэтому $AN=CK$. Что и требовалось доказать. (Иначе: равные вписанные углы опираются на равные дуги, а равные дуги стягиваются равными хордами.)

б) Найдём третий угол треугольника $ABC$:

$$\angle ABC=180^{\circ }-\angle BAC-\angle ACB=180^{\circ }-35^{\circ }-65^{\circ }=80^{\circ }.$$

Из треугольника $BHC$ $\angle HBC=90^{\circ }-65^{\circ }=25^{\circ }$, а по пункту а) $\angle ABN=\angle KBC=25^{\circ }$.

Оба луча $BN$ и $BK$ проходят внутри угла $ABC$: луч $BN$ — через центр $O$, лежащий внутри треугольника, луч $BK$ — через точку $H$ на стороне $AC$. Луч $BN$ образует с $BA$ угол $25^{\circ }$, а луч $BK$ образует с $BA$ угол $80^{\circ }-25^{\circ }=55^{\circ }$. Поэтому

$$\angle NBK=\angle ABC-\angle ABN-\angle KBC=80^{\circ }-25^{\circ }-25^{\circ }=30^{\circ }.$$

Угол $BKN$ вписанный и опирается на диаметр $BN$, значит, $\angle BKN=90^{\circ }$. Гипотенуза прямоугольного треугольника $BKN$ — диаметр $BN=2\cdot 12=24$, а катет $KN$ лежит против угла $30^{\circ }$ и поэтому равен половине гипотенузы:

$$KN=\frac{BN}{2}=\frac{24}{2}=12.$$

Ответ: б) $12$.