ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Пусть прямая $BN$ пересекает биссектрису $AM$ в точке $Q$. Рассмотрим треугольники $ABQ$ и $ANQ$: сторона $AQ$ общая, $\angle BAQ=\angle NAQ$, так как $AM$ — биссектриса угла $A$, и $\angle AQB=\angle AQN=90^{\circ }$ по условию. Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, и

$$AN=AB=12.$$

Так как $12<18=AC$, точка $N$ действительно лежит на стороне $AC$, и

$$NC=AC-AN=18-12=6.$$

По свойству биссектрисы треугольника она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}.$$

Вместе с $BM+MC=BC=10$ это даёт $MC=\frac{3}{5}\cdot 10=6$, $BM=4$.

Итак, $CM=CN=6$, и треугольник $MCN$ равнобедренный с основанием $MN$. Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $CB$ и $CA$, поэтому угол $MCN$ — это угол $C$ треугольника $ABC$, и биссектриса угла $C$ является биссектрисой угла при вершине равнобедренного треугольника $MCN$. Такая биссектриса является и медианой, значит, она проходит через середину $O$ отрезка $MN$. Что и требовалось доказать.

б) Точка $P$ пересечения биссектрис лежит на биссектрисе $AM$ и на биссектрисе $CO$ угла $C$.

В равнобедренном треугольнике $MCN$ биссектриса $CO$, проведённая к основанию, является и медианой, и высотой. Значит, прямая $CO$ — серединный перпендикуляр к отрезку $MN$. Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, поэтому $PN=PM$ и

$$AP:PN=AP:PM.$$

В треугольнике $AMC$ отрезок $CP$ — биссектриса угла $ACM$. По свойству биссектрисы

$$\frac{AP}{PM}=\frac{AC}{CM}=\frac{18}{6}=3.$$

Ответ: б) $3$.