ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

а) Треугольники $ABE$ и $CBK$ вписаны в одну и ту же окружность. Обозначим её радиус $R$. По теореме синусов сторона треугольника равна $2R$, умноженному на синус противолежащего угла:

$$BE=2R\sin \angle BAE,BK=2R\sin \angle BCK.$$

Точка $E$ лежит на прямой $AD$, поэтому угол $BAE$ либо совпадает с углом $BAD$, либо дополняет его до $180^{\circ }$. Точно так же точка $K$ лежит на прямой $CD$, и угол $BCK$ равен $\angle BCD$ или $180^{\circ }-\angle BCD$. Синусы углов, дополняющих друг друга до $180^{\circ }$, равны. Кроме того, $\angle BAD=\angle BCD$ как противоположные углы параллелограмма. Поэтому

$$\sin \angle BAE=\sin \angle BAD=\sin \angle BCD=\sin \angle BCK,$$

и, значит, $BE=BK$. Что и требовалось доказать.

Иначе говоря, равные вписанные углы $BAE$ и $BCK$ опираются на равные дуги, а равные дуги стягиваются равными хордами.

б) Соседние углы параллелограмма в сумме дают $180^{\circ }$, а противоположные равны, поэтому

$$\angle BAD=\angle BCD=180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ },\angle ADC=\angle ABC=135^{\circ }.$$

Уточним расположение точек. Точки $B$ и $D$ лежат по разные стороны от диагонали $AC$. Вписанный угол, опирающийся на хорду $AC$ со стороны точки $D$, равен $180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }$, а $D$ видит отрезок $AC$ под большим углом $135^{\circ }$. Значит, точка $D$ лежит внутри окружности, и точки $E$ и $K$ лежат на продолжениях сторон $AD$ и $CD$ за точку $D$: $D$ — точка пересечения хорд $AE$ и $CK$.

Четырёхугольник $ABCE$ вписан в окружность, а сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^{\circ }$:

$$\angle AEC=180^{\circ }-\angle ABC=180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }.$$

Точка $D$ лежит на отрезке $AE$, поэтому $\angle DEC=\angle AEC=45^{\circ }$. Угол $CDE$ смежный с углом $ADC$:

$$\angle CDE=180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }.$$

В треугольнике $CDE$ два угла по $45^{\circ }$, значит, третий угол $DCE$ прямой, и треугольник прямоугольный равнобедренный с катетами $CD=CE$. Его гипотенуза $DE=CD\sqrt{2}$, то есть

$$\frac{DE}{DC}=\sqrt{2}.$$

Хорды $AE$ и $CK$ пересекаются в точке $D$. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд

$$DA\cdot DE=DC\cdot DK,\text{откуда}\frac{DK}{DA}=\frac{DE}{DC}.$$

Рассмотрим треугольники $KDE$ и $ADC$. Углы $KDE$ и $ADC$ равны как вертикальные, а стороны, заключающие эти углы, пропорциональны: $\frac{DK}{DA}=\frac{DE}{DC}$. Значит, треугольники подобны по второму признаку (по двум сторонам и углу между ними), причём $K$ соответствует $A$, $E$ соответствует $C$. Тогда

$$\frac{KE}{AC}=\frac{DE}{DC}=\sqrt{2}.$$

Подобие можно получить и через вписанные углы: $\angle EKC=\angle EAC$, так как оба опираются на дугу $CE$.

Ответ: б) $\sqrt{2}$.