В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Трапеции средняя развёрнутое

В равнобедренной трапеции $A B C D$ основание $A D$ в три раза больше основания $B C$ .

а) Докажите, что высота $C H$ трапеции разбивает основание $A D$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $B D$ , если $A D = 15$ и $A C = 261$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Трапеция ABCD, высота CH, середина O диагонали BD

а) Пусть $B C = x$ , тогда $A D = 3 x$ . Опустим на основание $A D$ высоты $B G$ и $C H$ . В равнобедренной трапеции с большим основанием $A D$ углы при этом основании острые, поэтому точки $G$ и $H$ лежат на отрезке $A D$ .

Четырёхугольник $B C H G$ — прямоугольник ( $B C ∥ G H$ , $B G ∥ C H$ , углы при $G$ и $H$ прямые), поэтому $G H = B C = x$ .

Прямоугольные треугольники $A B G$ и $D C H$ равны по гипотенузе и катету: $A B = C D$ (трапеция равнобедренная), $B G = C H$ (высоты трапеции). Значит, $A G = H D$ . Так как $A G + G H + H D = A D$ , получаем

$2 H D = 3 x - x, H D = x, A H = A D - H D = 3 x - x = 2 x .$

Итак, $A H = 2 H D$ : высота $C H$ делит основание $A D$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого. Что и требовалось доказать.

б) По условию $A D = 15$ , поэтому $B C = 5$ , и по пункту а)

$H D = 5, A H = 10.$

Из прямоугольного треугольника $A C H$ по теореме Пифагора, учитывая $A C^{2} = 4 \cdot 61 = 244$ :

$C H = A C^{2} - A H^{2} = 244 - 100 = 144 = 12.$

Пусть $O$ — середина диагонали $B D$ . Рассмотрим четырёхугольник $B C D H$ . Его стороны $B C$ и $H D$ лежат на параллельных прямых $B C$ и $A D$ и равны: $B C = H D = 5$ . Если две противолежащие стороны четырёхугольника параллельны и равны, то он параллелограмм. Значит, $B C D H$ — параллелограмм.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Диагонали $B C D H$ — это $B D$ и $C H$ , поэтому середина $O$ отрезка $B D$ является и серединой отрезка $C H$ . Следовательно,

$C O = \frac{C H}{2} = \frac{12}{2} = 6.$

Ответ: б) $6$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18