ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма соседних равна $180^{\circ }$, поэтому

$$\angle A=\angle C=30^{\circ },\angle B=\angle D=150^{\circ }.$$

а) Пусть биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $K$, углов $B$ и $C$ — в точке $L$, углов $C$ и $D$ — в точке $M$, углов $D$ и $A$ — в точке $N$.

В треугольнике $ABK$

$$\angle BAK+\angle ABK=\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B=15^{\circ }+75^{\circ }=90^{\circ },$$

поэтому $\angle AKB=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$. То же верно для любых двух соседних углов параллелограмма: половина их суммы равна $90^{\circ }$. Поэтому

$$\angle AKB=\angle BLC=\angle CMD=\angle DNA=90^{\circ }.$$

Разберёмся, как эти углы связаны с углами четырёхугольника $KLMN$. Из прямоугольных треугольников $ABK$ и $BLC$: $BK=AB\sin 15^{\circ }=4\sin 15^{\circ }$, $BL=BC\sin 15^{\circ }=12\sin 15^{\circ }$, значит, $BK<BL$ и точка $K$ лежит на отрезке $BL$. Аналогично $AK=4\cos 15^{\circ }<AN=12\cos 15^{\circ }$, и $K$ лежит на отрезке $AN$. Точно так же $M$ лежит на отрезках $CL$ и $DN$.

Поэтому угол $LKN$ вертикален углу $BKA$, угол $LMN$ вертикален углу $CMD$, а углы $KLM$ и $KNM$ совпадают с углами $BLC$ и $DNA$. Все четыре угла четырёхугольника $KLMN$ прямые, значит, $KLMN$ — прямоугольник. Что и требовалось доказать.

б) Пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$, а биссектриса угла $D$ — в точке $T$.

$\angle BPA=\angle PAD=15^{\circ }$ как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AP$. Значит, $\angle BPA=\angle BAP$, треугольник $ABP$ равнобедренный с основанием $AP$, и $BP=AB=4$.

Аналогично $\angle CTD=\angle TDA=75^{\circ }=\angle CDT$, треугольник $DCT$ равнобедренный с основанием $DT$, и $CT=CD=4$.

Тогда точка $P$ лежит между $B$ и $T$, и

$$PT=BC-BP-CT=12-4-4=4.$$

Точка $K$ — это точка пересечения биссектрисы угла $B$ с основанием $AP$ равнобедренного треугольника $ABP$. Биссектриса, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является и медианой, поэтому $K$ — середина $AP$. По той же причине в треугольнике $DCT$ точка $M$ — середина $DT$.

Четырёхугольник $APTD$ — трапеция: $PT\parallel AD$, $PT=4\ne AD=12$. Отрезок $KM$ соединяет середины её боковых сторон $AP$ и $DT$, то есть является средней линией. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

$$KM\parallel AD,KM=\frac{AD+PT}{2}=\frac{12+4}{2}=8.$$

Точки $K$ и $M$ — противоположные вершины прямоугольника $KLMN$, поэтому $KM$ — его диагональ. Сторона $KN$ лежит на биссектрисе угла $A$, а $KM\parallel AD$, поэтому угол между ними равен углу между биссектрисой $AN$ и стороной $AD$ (соответственные углы):

$$\angle NKM=\angle NAD=15^{\circ }.$$

Из прямоугольного треугольника $KNM$ ($\angle N=90^{\circ }$):

$$KN=KM\cos 15^{\circ }=8\cos 15^{\circ },NM=KM\sin 15^{\circ }=8\sin 15^{\circ }.$$

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Применим формулу синуса двойного угла $2\sin x\cos x=\sin 2x$:

$$S_{KLMN}=KN\cdot NM=64\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }=32\sin 30^{\circ }=32\cdot \frac{1}{2}=16.$$

Ответ: б) $16$.