ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

Основания трапеции — $BC$ и $AD$, то есть $BC\parallel AD$.

а) Продлим отрезок $AE$ за точку $E$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $G$.

Рассмотрим треугольники $AED$ и $GEC$:

• $ED=EC$, так как $E$ — середина $CD$;
• $\angle AED=\angle GEC$ как вертикальные;
• $\angle ADE=\angle GCE$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BG$ и секущей $CD$.

Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда $AE=EG$ и $AD=CG$, причём точка $G$ лежит на продолжении основания $BC$ за точку $C$.

Получаем, что в треугольнике $ABG$ отрезок $BE$ — медиана, точка $K$ лежит на стороне $BA$, точка $C$ — на стороне $BG$, и $KC\parallel AG$.

Треугольники $BKO$ и $BAE$: угол $B$ общий, $\angle BKO=\angle BAE$ как соответственные при параллельных прямых $KO$ и $AE$ и секущей $AB$. Значит, они подобны по двум углам, и

$$\frac{KO}{AE}=\frac{BO}{BE}.$$

Треугольники $BCO$ и $BGE$: угол $B$ общий, $\angle BCO=\angle BGE$ как соответственные при параллельных прямых $CO$ и $GE$ и секущей $BG$. Значит, они тоже подобны, и

$$\frac{CO}{GE}=\frac{BO}{BE}.$$

Правые части равенств совпадают, поэтому $\frac{KO}{AE}=\frac{CO}{GE}$. Так как $AE=GE$, получаем $KO=CO$. Что и требовалось доказать.

б) Используем построение из пункта а). Отрезок $AE$ делит трапецию на четырёхугольник $ABCE$ и треугольник $AED$, а треугольник $ABG$ — на тот же четырёхугольник $ABCE$ и треугольник $GEC$. Треугольники $AED$ и $GEC$ равны, значит, равны и их площади, поэтому

$$S_{ABCD}=S_{ABCE}+S_{AED}=S_{ABCE}+S_{GEC}=S_{ABG}.$$

Треугольники $BCK$ и $BGA$ подобны по двум углам: угол $B$ общий, $\angle BCK=\angle BGA$ как соответственные при $CK\parallel GA$ и секущей $BG$. Коэффициент подобия $k=\frac{BC}{BG}$. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

$$k^2=\frac{S_{BCK}}{S_{BGA}}=\frac{S_{BCK}}{S_{ABCD}}=\frac{16}{81},k=\frac{4}{9}.$$

По пункту а) $CG=AD$, поэтому $BG=BC+CG=BC+AD$. Получаем уравнение

$$\frac{BC}{BC+AD}=\frac{4}{9},9BC=4BC+4AD,5BC=4AD,\frac{BC}{AD}=\frac{4}{5}.$$

Ответ: б) $\frac{4}{5}$.