ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Пусть $R$ — радиус окружности, $\angle BAD=\phi$. По следствию из теоремы синусов хорда окружности равна $2R$, умноженному на синус любого вписанного угла, опирающегося на эту хорду.

а) Хорда $BE$. Точка $E$ лежит на продолжении $AD$ за точку $D$, то есть на луче $AD$, поэтому вписанный угол $BAE$ равен $\angle BAD=\phi$, и

$$BE=2R\sin \angle BAE=2R\sin \phi .$$

Хорда $BK$. Точка $K$ лежит на продолжении $CD$ за точку $D$, то есть на луче $CD$, поэтому вписанный угол $BCK$ равен углу $BCD$. Противоположные углы параллелограмма равны, значит, $\angle BCK=\angle BCD=\angle BAD=\phi$, и

$$BK=2R\sin \angle BCK=2R\sin \phi .$$

Следовательно, $BK=BE$, что и требовалось доказать.

Заметим ещё, что $\angle ABC=180^{\circ }-\phi$ (углы параллелограмма, прилежащие к стороне $AB$), поэтому $AC=2R\sin \left(180^{\circ }-\phi \right)=2R\sin \phi$. То есть $BK=BE=AC$: четырёхугольники $ABCE$ и $ABCK$ — вписанные равнобедренные трапеции с равными диагоналями.

б) Хорды $AE$ и $CK$ пересекаются в точке $D$. По теореме о пересекающихся хордах

$$DA\cdot DE=DC\cdot DK\Rightarrow \frac{DE}{DC}=\frac{DK}{DA}.$$

Углы $EDK$ и $CDA$ вертикальные, поэтому равны. Значит, треугольники $DEK$ и $DCA$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, причём вершине $E$ соответствует $C$, а вершине $K$ — $A$. Отсюда

$$\frac{KE}{AC}=\frac{DE}{DC}.$$

Найдём углы треугольника $CDE$. Прямые $DC$ и $AB$ параллельны, $AE$ — секущая, поэтому $\angle CDE=\angle BAD=30^{\circ }$ как соответственные.

Четырёхугольник $ABCE$ — трапеция ($BC\parallel AE$), вписанная в окружность. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^{\circ }$, а $\angle ABC=180^{\circ }-30^{\circ }=150^{\circ }$, поэтому

$$\angle CED=\angle CEA=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }.$$

В треугольнике $CDE$ два угла по $30^{\circ }$, значит, он равнобедренный: $CD=CE$, и $\angle DCE=180^{\circ }-30^{\circ }-30^{\circ }=120^{\circ }$. Опустим высоту $CQ$ на основание $DE$. Она является медианой, и из прямоугольного треугольника $CQD$

$$DQ=DC\cdot \cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}DC\Rightarrow DE=2DQ=\sqrt{3}DC.$$

Тогда

$$\frac{KE}{AC}=\frac{DE}{DC}=\sqrt{3}.$$

Проверим через формулу хорды из пункта а). Точка $K$ лежит на луче $CD$, поэтому вписанный угол $KCE$ равен $\angle DCE=120^{\circ }$, и $KE=2R\sin 120^{\circ }=R\sqrt{3}$. А $AC=2R\sin 30^{\circ }=R$. Отношение снова равно $\sqrt{3}$.

Ответ: б) $\sqrt{3}$.