ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, высота $CH$, точки $M$ на $AC$ и $N$ на $BC$, угол $MHN$ прямой; проведён отрезок $MN$.

а) В четырёхугольнике $CMHN$ сумма противоположных углов $MHN$ и $MCN$ равна

$$\angle MHN+\angle MCN=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ },$$

значит, около него можно описать окружность.

Вписанные углы $HMN$ и $HCN$ этой окружности опираются на одну дугу $HN$, поэтому

$$\angle HMN=\angle HCN.$$

$CH$ — высота, поэтому треугольник $ACH$ прямоугольный, и сумма его острых углов равна $90^{\circ }$: $\angle BAC=90^{\circ }-\angle ACH$. С другой стороны, угол $ACB$ прямой, и луч $CH$ делит его на две части, поэтому $\angle HCN=\angle HCB=90^{\circ }-\angle ACH$. Значит,

$$\angle HCN=\angle BAC,\text{то есть}\angle HMN=\angle BAC.$$

Рассмотрим треугольники $MNH$ и $ABC$. Их углы $MHN$ и $ACB$ прямые, а углы $HMN$ и $BAC$ равны. Следовательно, треугольники подобны по двум углам, причём вершине $M$ соответствует $A$, вершине $H$ — $C$, вершине $N$ — $B$. Что и требовалось доказать.

б) Так как $AC=5$ и $CM=2$, то

$$AM=AC-CM=5-2=3.$$

Четырёхугольник $CMHN$ вписанный, поэтому сумма его противоположных углов $CMH$ и $CNH$ равна $180^{\circ }$: $\angle CNH=180^{\circ }-\angle CMH$. Углы $AMH$ и $CMH$ смежные, поэтому $\angle AMH=180^{\circ }-\angle CMH$. Следовательно,

$$\angle AMH=\angle CNH.$$

Кроме того, из пункта а) $\angle MAH=\angle BAC=\angle HCN$.

Рассмотрим треугольники $MAH$ и $NCH$. В них $\angle AMH=\angle CNH$ и $\angle MAH=\angle NCH$, значит, они подобны по двум углам, причём вершине $M$ соответствует $N$, вершине $A$ — $C$, вершине $H$ — $H$. Отсюда

$$\frac{AM}{CN}=\frac{MH}{NH}.$$

Из подобия треугольников $MNH$ и $ABC$, доказанного в пункте а), стороне $MH$ соответствует $AC$, а стороне $NH$ — $BC$:

$$\frac{MH}{NH}=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{3}.$$

Тогда

$$\frac{AM}{CN}=\frac{5}{3}\Rightarrow \frac{3}{CN}=\frac{5}{3}\Rightarrow CN=\frac{9}{5}=1,8.$$

Ответ: б) $1,8$.