ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

Пусть $R$ — радиус окружности. Будем пользоваться следствием из теоремы синусов: хорда окружности равна $2R$, умноженному на синус любого вписанного угла, опирающегося на эту хорду.

а) Четырёхугольник $BCDM$ — параллелограмм, поэтому его противоположные стороны параллельны: $CD\parallel BM$ и $BC\parallel MD$. Точка $M$ лежит на $BE$ и на $AD$, значит,

$$CD\parallel BE,BC\parallel AD.$$

Проведём хорду $CE$. Углы $DCE$ и $CEB$ — накрест лежащие при параллельных $CD$ и $BE$ и секущей $CE$, поэтому $\angle DCE=\angle CEB$.

Вписанный угол $CEB$ опирается на хорду $BC$, а вписанный угол $DCE$ — на хорду $DE$. Поэтому

$$BC=2R\sin \angle CEB=2R\sin \angle DCE=DE,$$

что и требовалось доказать. Иначе говоря, $BCDE$ — вписанная трапеция, а она равнобедренная.

б) По пункту а) $BC=DE=4$. Противоположные стороны параллелограмма $BCDM$ равны: $MD=BC=4$ и $BM=CD$. Точка $M$ лежит на хорде $AD$, поэтому

$$AM=AD-MD=7-4=3.$$

Хорды $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $M$. По теореме о пересекающихся хордах произведения их отрезков равны: $AM\cdot MD=BM\cdot ME$. Так как $ME=BE-BM=8-BM$,

$$3\cdot 4=BM(8-BM)\Rightarrow B{M}^2-8BM+12=0\Rightarrow BM=2\text{или}BM=6.$$

Теперь воспользуемся тем, что $BC\parallel AD$. Углы $BCA$ и $CAD$ — накрест лежащие при этих прямых и секущей $AC$, поэтому они равны. Вписанный угол $BCA$ опирается на хорду $AB$, а вписанный угол $CAD$ — на хорду $CD$, следовательно,

$$AB=2R\sin \angle BCA=2R\sin \angle CAD=CD.$$

Так как $CD=BM$, получаем $AB=BM$, то есть $AB=2$ или $AB=6$. По условию $AB>BC=4$, поэтому подходит только $AB=6$.

Ответ: б) $6$.