В трапеции ABCD с основаниями BC и AD углы ABD и ACD прямые. а)… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Трапеции средняя 2018 развёрнутое

В трапеции $A B C D$ с основаниями $B C$ и $A D$ углы $A B D$ и $A C D$ прямые.

а) Докажите, что $A B = C D .$

б) Найдите $A D,$ если $A B = 2,$ $B C = 7.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: трапеция $A B C D$ с основаниями $B C$ и $A D$ , проведены диагонали $B D$ и $A C$ , углы $A B D$ и $A C D$ прямые.

а) Вершина прямого угла лежит на окружности, построенной на гипотенузе как на диаметре. Так как $∠ A B D = ∠ A C D = 9 0^{\circ}$ , точки $B$ и $C$ лежат на окружности с диаметром $A D$ . Значит, трапеция $A B C D$ вписана в эту окружность.

Вписанные углы $C A D$ и $C B D$ опираются на одну дугу $C D$ , поэтому $∠ C A D = ∠ C B D$ . Углы $C B D$ и $B D A$ — накрест лежащие при параллельных $B C$ и $A D$ и секущей $B D$ , поэтому $∠ C B D = ∠ B D A$ . Получаем

$∠ C A D = ∠ B D A .$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $A C D$ и $D B A$ . Гипотенуза $A D$ у них общая, а острые углы $C A D$ и $B D A$ равны. Значит, эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу, и соответствующие катеты равны: $C D = B A$ , что и требовалось доказать.

б) Из равенства треугольников в пункте а) $∠ C D A = ∠ B A D$ , то есть трапеция равнобедренная.

Опустим высоты $B H_{B}$ и $C H_{C}$ на основание $A D$ . В прямоугольном треугольнике $A B D$ угол $A$ острый, поэтому основание $H_{B}$ высоты, проведённой из вершины прямого угла, лежит на гипотенузе $A D$ .

Прямоугольные треугольники $A B H_{B}$ и $D C H_{C}$ равны по гипотенузе ( $A B = C D$ ) и острому углу ( $∠ B A D = ∠ C D A$ ), поэтому $A H_{B} = D H_{C}$ . Обозначим $A H_{B} = D H_{C} = t$ . Четырёхугольник $H_{B} B C H_{C}$ — прямоугольник, поэтому $H_{B} H_{C} = B C = 7$ . Тогда

$A D = A H_{B} + H_{B} H_{C} + H_{C} D = 2 t + 7.$

Прямоугольные треугольники $A B H_{B}$ и $A D B$ подобны по общему острому углу $A$ . Отсюда $\frac{A H _{B}}{A B} = \frac{A B}{A D}$ , то есть

$A B^{2} = A H_{B} \cdot A D \Rightarrow 4 = t (2 t + 7) \Rightarrow 2 t^{2} + 7 t - 4 = 0.$

Дискриминант $49 + 32 = 81$ , корни

$t = \frac{- 7 \pm 9}{4}, t_{1} = \frac{1}{2}, t_{2} = - 4.$

Длина отрезка положительна, поэтому $t = \frac{1}{2}$ и

$A D = 2 \cdot \frac{1}{2} + 7 = 8.$

Проверка: из прямоугольного треугольника $A C D$ получаем $A C^{2} = A D^{2} - C D^{2} = 64 - 4 = 60$ . С другой стороны, высота трапеции $C H_{C} = C D^{2} - D H_{C}^{2} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{2}$ , $A H_{C} = 8 - \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$ , и по теореме Пифагора для треугольника $A C H_{C}$ имеем $A C^{2} = \frac{225}{4} + \frac{15}{4} = 60$ — совпадает.

Ответ: б) $8$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18