В трапеции KLMN с основаниями KN и ML провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересекаются в точке P. Через точку P… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Трапеции сложная 2026 развёрнутое

В трапеции $K L M N$ с основаниями $K N$ и $M L$ провели биссектрисы углов $L K N$ и $L M N,$ которые пересекаются в точке $P .$ Через точку $P$ параллельно прямой $K N$ провели прямую, которая пересекает стороны $L K$ и $M N$ соответственно в точках $A$ и $B .$ При этом $A B = K L .$

а) Докажите, что трапеция $K L M N$ равнобедренная.

б) Найдите $cos ∠ L K N,$ если $K P : P M = 2 : 3,$ $A P : P B = 1 : 2.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: трапеция $K L M N$ с основаниями $K N$ и $L M$ , биссектрисы углов $K$ и $M$ пересекаются в точке $P$ , через $P$ проведён отрезок $A B ∥ K N$ с концами $A$ на $K L$ и $B$ на $M N$ .

а) Прямые $A B$ и $K N$ параллельны, $K P$ — секущая, поэтому $∠ A P K = ∠ P K N$ как накрест лежащие. Так как $K P$ — биссектриса угла $L K N$ , то $∠ A K P = ∠ P K N$ . Значит, $∠ A K P = ∠ A P K$ , треугольник $A K P$ равнобедренный и

$A K = A P .$

Прямая $A B$ параллельна и основанию $L M$ , $M P$ — секущая, поэтому $∠ B P M = ∠ L M P$ как накрест лежащие. Так как $M P$ — биссектриса угла $L M N$ , то $∠ B M P = ∠ L M P$ . Значит, $∠ B M P = ∠ B P M$ и

$B M = B P .$

По условию $A B = K L$ , то есть $A P + P B = A K + A L$ . Так как $A P = A K$ , получаем $P B = A L$ , а значит,

$A L = P B = B M .$

Параллельные прямые $L M$ , $A B$ и $K N$ отсекают на сторонах $K L$ и $N M$ пропорциональные отрезки (обобщённая теорема Фалеса):

$\frac{A L}{A K} = \frac{B M}{B N} .$

Числители равны ( $A L = B M$ ), поэтому равны и знаменатели: $A K = B N$ . Тогда

$K L = K A + A L = N B + B M = N M .$

Боковые стороны трапеции равны, значит, трапеция $K L M N$ равнобедренная, что и требовалось доказать.

б) Обозначим $∠ L M N = 2 α$ , $∠ L K N = 2 β$ . В равнобедренной трапеции углы при основании равны, поэтому $∠ K L M = ∠ L M N = 2 α$ . Углы $L K N$ и $K L M$ — односторонние при параллельных $K N$ и $L M$ и секущей $K L$ , поэтому

$2 β + 2 α = 18 0^{\circ} \Rightarrow α + β = 9 0^{\circ} .$

Проведём высоты $A A_{1} ⊥ K P$ и $B B_{1} ⊥ M P$ равнобедренных треугольников $A K P$ и $B P M$ . Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой, поэтому

$K A_{1} = \frac{K P}{2}, M B_{1} = \frac{P M}{2} .$

В прямоугольном треугольнике $K A A_{1}$ угол $K$ равен $β$ , поэтому $∠ K A A_{1} = 9 0^{\circ} - β = α$ . В прямоугольном треугольнике $M B B_{1}$ угол $M$ равен $α$ . Значит, прямоугольные треугольники $A A_{1} K$ и $M B_{1} B$ подобны по острому углу, причём вершине $A$ соответствует $M$ , вершине $A_{1}$ — $B_{1}$ , вершине $K$ — $B$ . Отношение катетов, лежащих против угла $α$ , равно отношению гипотенуз:

$\frac{K A _{1}}{B B _{1}} = \frac{A K}{M B} = \frac{A P}{P B} = \frac{1}{2} .$

Отсюда $B B_{1} = 2 K A_{1} = K P$ .

По условию $K P : P M = 2 : 3$ , то есть $P M = \frac{3}{2} K P$ , и

$M B_{1} = \frac{P M}{2} = \frac{3}{4} K P .$

В прямоугольном треугольнике $M B B_{1}$ тангенс угла $M$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$tg α = \frac{B B _{1}}{M B _{1}} = \frac{K P}{\frac{3}{4} K P} = \frac{4}{3} .$

Найдём $cos 2 α$ через тангенс:

$cos 2 α = \frac{1 - tg ^{2} α}{1 + tg ^{2} α} = \frac{1 - \frac{16}{9}}{1 + \frac{16}{9}} = \frac{- \frac{7}{9}}{\frac{25}{9}} = - \frac{7}{25} .$

Так как $2 β = 18 0^{\circ} - 2 α$ , получаем

$cos ∠ L K N = cos 2 β = cos (18 0^{\circ} - 2 α) = - cos 2 α = \frac{7}{25} = 0, 28.$

Ответ: б) $0, 28$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18