ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, высота $CH$; биссектриса $AM$ треугольника $ACH$ (точка $M$ на $CH$) и биссектриса $CN$ треугольника $BCH$ (точка $N$ на $HB$). Пусть $K$ — точка пересечения прямых $AM$ и $CN$.

а) В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^{\circ }$, поэтому $\angle CAH=\angle CAB=90^{\circ }-\angle ABC$. В прямоугольном треугольнике $CHB$ по той же причине $\angle HCB=90^{\circ }-\angle HBC=90^{\circ }-\angle ABC$. Значит,

$$\angle CAH=\angle HCB.$$

Биссектрисы делят эти углы пополам, поэтому равны и их половины:

$$\angle MAH=\frac{1}{2}\angle CAH=\frac{1}{2}\angle HCB=\angle HCN=\angle MCK.$$

Прямая $AM$ пересекает отрезок $CH$ в точке $M$ и дальше проходит внутри треугольника $CHB$, где и пересекает $CN$ в точке $K$.

Рассмотрим треугольники $AHM$ и $CKM$. В них $\angle MAH=\angle MCK$ и $\angle AMH=\angle CMK$ как вертикальные. Значит, $△AHM\sim △CKM$ по двум углам, и третьи углы тоже равны:

$$\angle CKM=\angle AHM=90^{\circ }.$$

Следовательно, прямые $AM$ и $CN$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

б) Точка $N$ лежит на гипотенузе $AB$, поэтому $\angle CAN=\angle CAB=\angle CAH$, и $AK$ — биссектриса угла $CAN$. По пункту а) $AK\perp CN$. В треугольнике $ACN$ отрезок $AK$ одновременно биссектриса и высота, поэтому треугольник равнобедренный ($AC=AN$), и $AK$ — также его медиана: $CK=KN$.

Значит, прямая $AM$ — серединный перпендикуляр к отрезку $CN$. Точка $M$ лежит на нём, а каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, поэтому

$$MN=MC.$$

Пусть прямая $AM$ пересекает катет $BC$ в точке $T$. Прямая $AM$ делит угол $CAH$, то есть угол $CAB$, пополам, поэтому $AT$ — биссектриса треугольника $ABC$.

Рассмотрим треугольник $MCT$. Отрезок $CK$ в нём — биссектриса ($\angle MCK=\angle HCN=\angle NCB=\angle KCT$, так как $CN$ — биссектриса угла $HCB$) и высота ($CK\perp MT$ по пункту а)). Значит, треугольник $MCT$ равнобедренный и

$$CM=CT.$$

Найдём $CT$ по свойству биссектрисы $AT$ треугольника $ABC$: она делит сторону $BC$ в отношении прилежащих сторон. В прямоугольном треугольнике $ABC$ отношение катета $AC$, противолежащего углу $B$, к гипотенузе $AB$ равно $\sin \angle ABC$:

$$\frac{CT}{TB}=\frac{AC}{AB}=\sin \angle ABC=\frac{2}{5}.$$

Пусть $CT=2u$, $TB=5u$. Тогда $BC=7u=21$, откуда $u=3$ и $CT=6$, $TB=15$.

Итак,

$$MN=MC=CT=6.$$

Ответ: б) $6$.