Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=BC. На стороне AC… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности сложная 2022 развёрнутое

Дан равнобедренный треугольник $A B C,$ в котором $A B = B C .$ На стороне $A C$ взяли точку $D,$ а также отметили центры $I$ и $J$ описанных окружностей треугольников $A B D$ и $C B D$ соответственно.

а) Докажите, что $B I ∥ D J .$

б) Найдите $I J,$ если $A C = 12$ и $cos ∠ B D C = \frac{3}{7} .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: равнобедренный треугольник $A B C$ с основанием $A C$ , точка $D$ на основании, отрезок $B D$ ; $I$ и $J$ — центры окружностей, описанных около треугольников $A B D$ и $C B D$ .

а) Обозначим радиусы этих окружностей $R_{1}$ и $R_{2}$ . По теореме синусов для треугольника $A B D$ сторона $A B$ относится к синусу противолежащего угла $A D B$ как $2 R_{1}$ :

$\frac{A B}{sin ∠ A D B} = 2 R_{1} \Rightarrow R_{1} = \frac{A B}{2 sin ∠ A D B} .$

Так же для треугольника $C B D$ :

$\frac{B C}{sin ∠ B D C} = 2 R_{2} \Rightarrow R_{2} = \frac{B C}{2 sin ∠ B D C} .$

Углы $A D B$ и $B D C$ смежные, их сумма $18 0^{\circ}$ , поэтому $sin ∠ A D B = sin (18 0^{\circ} - ∠ B D C) = sin ∠ B D C$ . Кроме того, $A B = B C$ . Значит, $R_{1} = R_{2}$ . Обозначим общий радиус $R$ .

Получаем $I B = I D = R$ и $J B = J D = R$ . Точки $I$ и $J$ равноудалены от концов отрезка $B D$ , поэтому обе лежат на серединном перпендикуляре к $B D$ . Пусть $K$ — середина $B D$ . По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников $I K B$ и $J K B$

$I K = R^{2} - B K^{2} = J K .$

Точки $I$ и $J$ различны: иначе две окружности совпали бы, и одна окружность прошла бы через три точки $A$ , $D$ , $C$ одной прямой, что невозможно. Две различные точки прямой, удалённые от точки $K$ на одно и то же расстояние, симметричны относительно $K$ . Значит, $K$ — середина $I J$ .

В четырёхугольнике $I B J D$ диагонали $B D$ и $I J$ точкой пересечения $K$ делятся пополам, поэтому $I B J D$ — параллелограмм (а так как все его стороны равны $R$ , даже ромб). Противоположные стороны параллелограмма параллельны: $B I ∥ D J$ , что и требовалось доказать.

б) Пусть $M$ — середина $A D$ , $N$ — середина $D C$ . Центр описанной окружности лежит на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника, поэтому $I M ⊥ A C$ и $J N ⊥ A C$ . Кроме того, из пункта а) прямая $I J$ — серединный перпендикуляр к $B D$ , то есть $I J ⊥ B D$ .

Опустим из точки $J$ перпендикуляр $J H$ на прямую $I M$ . У четырёхугольника $J N M H$ углы при вершинах $N$ , $M$ и $H$ прямые, значит, это прямоугольник, и его противоположные стороны равны: $J H = M N$ . Точка $M$ лежит на отрезке $A D$ , точка $N$ — на отрезке $D C$ , поэтому $D$ лежит между ними и

$J H = M N = M D + D N = \frac{A D}{2} + \frac{D C}{2} = \frac{A C}{2} = 6.$

Найдём угол $H I J$ прямоугольного треугольника $I H J$ . Это острый угол между прямыми $I M$ и $I J$ . Прямая $I M$ перпендикулярна $A C$ , прямая $I J$ перпендикулярна $B D$ , а углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны. Значит, $∠ H I J$ равен острому углу между прямыми $A C$ и $B D$ . По условию $cos ∠ B D C = \frac{3}{7} > 0$ , то есть угол $B D C$ острый, и именно он является углом между этими прямыми:

$∠ H I J = ∠ B D C .$

Найдём синус по основному тригонометрическому тождеству (угол острый, синус положителен):

$sin ∠ B D C = 1 - cos^{2} ∠ B D C = 1 - \frac{9}{49} = \frac{40}{49} = \frac{2 10}{7} .$

В прямоугольном треугольнике $I H J$ катет $J H$ лежит против угла $H I J$ , поэтому $J H = I J \cdot sin ∠ H I J$ , откуда

$I J = \frac{J H}{sin ∠ B D C} = \frac{6}{\frac{2 10}{7}} = \frac{42}{2 10} = \frac{21}{10} = \frac{21 10}{10} .$

Ответ: б) $\frac{21 10}{10}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18