ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$, стороны $BC$ и $CD$ равны.

а) Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Поэтому $\angle BAC=\angle BDC$ (опираются на дугу $BC$) и $\angle CAD=\angle CBD$ (опираются на дугу $CD$).

Треугольник $BCD$ равнобедренный ($BC=CD$), поэтому углы при его основании равны: $\angle CBD=\angle CDB$. Получаем

$$\angle BAC=\angle BDC=\angle CBD=\angle CAD.$$

Значит, $AC$ — биссектриса угла $BAD$.

Кроме того, $\angle BCA=\angle BDA$ как вписанные углы, опирающиеся на дугу $AB$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $APD$. Точка $P$ лежит на $AC$ и на $BD$, поэтому $\angle PAD=\angle CAD=\angle BAC$ и $\angle PDA=\angle BDA=\angle BCA$. Значит, $△ABC\sim △APD$ по двум углам, причём вершине $A$ соответствует $A$, вершине $B$ — $P$, вершине $C$ — $D$. Отношения соответствующих сторон равны:

$$\frac{AB}{AP}=\frac{BC}{PD}\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{AP}{PD},$$

то есть $AB:BC=AP:PD$, что и требовалось доказать.

б) Центр вписанной окружности треугольника — точка пересечения его биссектрис. По пункту а) $AC$ — биссектриса угла $BAD$ треугольника $ABD$, поэтому центр $O$ вписанной окружности треугольника $ABD$ лежит на отрезке $AP$, то есть на диагонали $AC$.

По условию $BD$ — диаметр, поэтому вписанные углы, опирающиеся на него, прямые:

$$\angle BAD=\angle BCD=90^{\circ }.$$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCD$ ($CD=BC=6\sqrt{2}$):

$$BD=\sqrt{B{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{72+72}=\sqrt{144}=12.$$

В прямоугольном треугольнике $ABD$ катет $AB=6$ равен половине гипотенузы $BD=12$. Катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла $30^{\circ }$, поэтому

$$\angle ADB=30^{\circ },\angle ABD=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }.$$

Вписанные углы $ACD$ и $ABD$ опираются на дугу $AD$, поэтому $\angle ACD=\angle ABD=60^{\circ }$. Точка $O$ лежит на отрезке $AC$, значит,

$$\angle OCD=\angle ACD=60^{\circ }.$$

Треугольник $BCD$ прямоугольный и равнобедренный, поэтому $\angle CDB=45^{\circ }$. Отрезок $DO$ — биссектриса угла $ADB$ треугольника $ABD$, поэтому $\angle BDO=\frac{30^{\circ }}{2}=15^{\circ }$. Точка $O$ лежит внутри треугольника $ABD$, а точка $C$ — по другую сторону от диагонали $BD$, поэтому луч $DB$ проходит между лучами $DC$ и $DO$, и

$$\angle CDO=\angle CDB+\angle BDO=45^{\circ }+15^{\circ }=60^{\circ }.$$

В треугольнике $OCD$ два угла равны $60^{\circ }$, значит, и третий угол равен $180^{\circ }-60^{\circ }-60^{\circ }=60^{\circ }$. Треугольник $OCD$ равносторонний со стороной $CD=6\sqrt{2}$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$:

$$S_{COD}=\frac{{\left(6\sqrt{2}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{72\sqrt{3}}{4}=18\sqrt{3}.$$

Ответ: б) $18\sqrt{3}$.