В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. Прямая, проходящая через вершину B перпендикулярно AM, пересекает сторону AC в точке… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Треугольники средняя 2025 развёрнутое

В треугольнике $A B C$ проведена биссектриса $A M$ . Прямая, проходящая через вершину $B$ перпендикулярно $A M$ , пересекает сторону $A C$ в точке $N$ . Известно, что $A B = 6$ , $B C = 5$ , $A C = 9$ .

a) Докажите, что биссектриса угла $C$ делит отрезок $M N$ пополам.

б) Пусть $P$ — точка пересечения биссектрис треугольника $A B C$ . Найдите отношение $A P : P N$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $H$ — точка пересечения $A M$ и $B N$ .

Треугольник ABC, биссектриса AM, BN перпендикулярен AM

Рассмотрим треугольники $A B H$ и $A N H$ . Сторона $A H$ у них общая, $∠ B A H = ∠ N A H$ , так как $A M$ — биссектриса угла $A$ , и $∠ A H B = ∠ A H N = 9 0^{\circ}$ , так как $B N ⊥ A M$ . Значит, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, откуда

$A N = A B = 6.$

Так как $A N = 6 < 9 = A C$ , точка $N$ лежит на отрезке $A C$ , и

$C N = A C - A N = 9 - 6 = 3.$

По свойству биссектрисы $A M$ треугольника $A B C$ она делит сторону $B C$ в отношении прилежащих сторон:

$\frac{C M}{M B} = \frac{A C}{A B} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} .$

Пусть $C M = 3 x$ , $M B = 2 x$ . Тогда $B C = 3 x + 2 x = 5 x = 5$ , откуда $x = 1$ и $C M = 3$ .

Получили $C M = C N = 3$ , то есть треугольник $C M N$ равнобедренный с основанием $M N$ . В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является и медианой. Значит, биссектриса угла $C$ делит отрезок $M N$ пополам, что и требовалось доказать.

Рисунок к решению

б) Точка $P$ — точка пересечения биссектрис треугольника $A B C$ , поэтому она лежит на биссектрисе $A M$ и на биссектрисе угла $C$ .

В равнобедренном треугольнике $C M N$ биссектриса угла $C$ является также высотой и медианой, то есть лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $M N$ . Точка $P$ лежит на этой прямой, а каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Поэтому

$P M = P N .$

Рассмотрим треугольник $A M C$ . Отрезок $C P$ в нём — биссектриса угла $A C M$ (это тот же угол $A C B$ ), а точка $P$ лежит на стороне $A M$ . По свойству биссектрисы

$\frac{A P}{P M} = \frac{A C}{C M} = \frac{9}{3} = 3.$

Так как $P N = P M$ , получаем

$\frac{A P}{P N} = \frac{A P}{P M} = 3.$

Рисунок к решению

Ответ: б) $3 : 1$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18