ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, $M$ — середина гипотенузы $AB$, серединный перпендикуляр $MN$ к $AB$ пересекает катет $BC$ в точке $N$; проведены отрезки $AN$ и $CM$.

а) Прямая $MN$ перпендикулярна $AB$, поэтому $\angle AMN=90^{\circ }$. Точка $N$ лежит на катете $BC$, поэтому $\angle ACN=\angle ACB=90^{\circ }$.

Из точек $M$ и $C$ отрезок $AN$ виден под прямым углом, значит, обе точки лежат на окружности с диаметром $AN$. Иначе говоря, в четырёхугольнике $AMNC$ сумма противоположных углов $M$ и $C$ равна $90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$, и он вписанный.

Углы $CAN$ и $CMN$ — вписанные углы этой окружности, опирающиеся на хорду $CN$. Точки $A$ и $M$ лежат по одну сторону от прямой $CN$, то есть от прямой $BC$: отрезок $AM$ — часть отрезка $AB$, который имеет с прямой $BC$ единственную общую точку $B$. Значит, эти углы опираются на одну и ту же дугу и равны:

$$\angle CAN=\angle CMN,$$

что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим в той же окружности вписанные углы $NCM$ и $NAM$, опирающиеся на хорду $MN$. Точки $A$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $MN$. Действительно, серединный перпендикуляр $MN$ разделяет точки $A$ и $B$. Точка $N$ лежит на отрезке $BC$ между $B$ и $C$, поэтому $B$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $MN$. Значит, $C$ лежит с той же стороны, что и $A$. Поэтому

$$\angle NCM=\angle NAM.$$

Точка $N$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, поэтому $NA=NB$, и треугольник $ANB$ равнобедренный. Углы при его основании равны: $\angle NAB=\angle NBA$. Получаем цепочку

$$\angle BCM=\angle NCM=\angle NAM=\angle NAB=\angle NBA.$$

Рассмотрим треугольники $CBM$ и $ABN$. В них $\angle BCM=\angle BAN$, а угол при вершине $B$ общий ($\angle CBM=\angle ABN$, так как $N$ лежит на луче $BC$, а $M$ — на луче $BA$). Значит, $△CBM\sim △ABN$ по двум углам, причём вершине $C$ соответствует $A$, вершине $B$ — $B$, вершине $M$ — $N$. Коэффициент подобия

$$k=\frac{CB}{AB}.$$

У подобных треугольников радиусы описанных окружностей относятся как соответствующие стороны. Это следует из теоремы синусов: $R=\frac{a}{2\sin \alpha }$, а соответствующие стороны лежат против равных углов. Поэтому

$$\frac{R_{ANB}}{R_{CBM}}=\frac{AB}{CB}.$$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ отношение катета $CB$, противолежащего углу $A$, к гипотенузе $AB$ равно $\sin \angle BAC$. Найдём синус по тангенсу. Из тождества $1+{\mathrm{tg}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$:

$${\cos }^2\angle BAC=\frac{1}{1+\frac{144}{25}}=\frac{25}{169},\cos \angle BAC=\frac{5}{13}$$

(угол $BAC$ острый, косинус положителен). Тогда

$$\sin \angle BAC=\mathrm{tg}\angle BAC\cdot \cos \angle BAC=\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{12}{13},\frac{CB}{AB}=\frac{12}{13}.$$

Искомое отношение

$$\frac{R_{ANB}}{R_{CBM}}=\frac{AB}{CB}=\frac{13}{12}.$$

Ответ: б) $13:12$.