ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: квадрат $ABCD$, точка $K$ на стороне $BC$, точка $E$ на стороне $CD$, проведены отрезки $AK$, $KE$ и $AE$.

а) Проверим, не прямоугольный ли треугольник $AKE$:

$$A{K}^2+K{E}^2=3^2+1^2=10={\left(\sqrt{10}\right)}^2=A{E}^2.$$

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $AKE$ прямоугольный, и прямой угол лежит против наибольшей стороны $AE$: $\angle AKE=90^{\circ }$.

Все углы квадрата прямые, поэтому треугольник $ABK$ прямоугольный с прямым углом $B$. Сумма его острых углов равна $90^{\circ }$:

$$\angle BAK+\angle BKA=90^{\circ }.$$

Угол $BKC$ развёрнутый, лучи $KA$ и $KE$ делят его на три части:

$$\angle BKA+\angle AKE+\angle EKC=180^{\circ }\Rightarrow \angle BKA+\angle EKC=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }.$$

Сравнивая два равенства, получаем $\angle BAK=\angle EKC$.

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $KCE$. В них $\angle ABK=90^{\circ }=\angle KCE$ и $\angle BAK=\angle CKE$. Значит, $△ABK\sim △KCE$ по двум углам, причём вершине $A$ соответствует $K$, вершине $B$ — $C$, вершине $K$ — $E$. Отношения соответствующих сторон равны:

$$\frac{AB}{KC}=\frac{BK}{CE}=\frac{AK}{KE}=\frac{3}{1}.$$

Значит, $BK:CE=3:1$, что и требовалось доказать.

б) Из того же подобия $AB=3\cdot KC$. Пусть $KC=x$, тогда $AB=3x$. У квадрата все стороны равны, поэтому $BC=AB=3x$ и

$$BK=BC-KC=3x-x=2x.$$

Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABK$:

$$A{B}^2+B{K}^2=A{K}^2\Rightarrow 9x^2+4x^2=9\Rightarrow 13x^2=9\Rightarrow x^2=\frac{9}{13}.$$

Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

$$S_{ABCD}=A{B}^2=9x^2=9\cdot \frac{9}{13}=\frac{81}{13}.$$

Проверим остальные данные. Из пункта а) $CE=\frac{BK}{3}=\frac{2x}{3}$. Тогда $K{E}^2=K{C}^2+C{E}^2=x^2+\frac{4x^2}{9}=\frac{13x^2}{9}=1$ — совпадает с условием $KE=1$.

Ответ: б) $\frac{81}{13}$.