ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок. Окружность с центром $O$ вписана в угол с вершиной $N$ и касается его сторон в точках $A$ и $B$. Через $B$ проведён диаметр $BC$, точки $A$ и $C$ соединены отрезком.

а) Окружность касается обеих сторон угла, поэтому её центр $O$ удалён от каждой стороны на радиус, то есть равноудалён от сторон угла. Точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Значит, луч $NO$ — биссектриса угла $ANB$.

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны: $NA=NB$. Поэтому треугольник $ANB$ равнобедренный с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является и высотой. Следовательно, $NO\perp AB$.

Отрезок $BC$ — диаметр, а точка $A$ лежит на окружности. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:

$$\angle BAC=90^{\circ },\text{то есть}AC\perp AB.$$

Прямые $NO$ и $AC$ перпендикулярны одной и той же прямой $AB$, значит, они параллельны. Совпасть они не могут: биссектриса $NO$ пересекает $AB$ в середине отрезка $AB$, а не в точке $A$.

Итак, прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $ANB$, что и требовалось доказать.

б) Треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $A$. По теореме Пифагора

$$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{48^2+14^2}=\sqrt{2304+196}=\sqrt{2500}=50.$$

$BC$ — диаметр, поэтому радиус окружности равен

$$AO=BO=CO=\frac{BC}{2}=25.$$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $\angle OAN=\angle OBN=90^{\circ }$. В четырёхугольнике $ANBO$ сумма противоположных углов $A$ и $B$ равна $180^{\circ }$, значит, около него можно описать окружность.

В этой окружности вписанные углы $ANO$ и $ABO$ опираются на одну и ту же дугу $AO$, поэтому они равны. Точка $O$ лежит на отрезке $BC$, значит, $\angle ABO=\angle ABC$. Получаем

$$\angle ANO=\angle ABC.$$

Рассмотрим треугольники $ANO$ и $ABC$. В них $\angle NAO=90^{\circ }=\angle BAC$ и $\angle ANO=\angle ABC$. Значит, $△ANO\sim △ABC$ по двум углам, причём вершине $N$ соответствует $B$, вершине $A$ — $A$, вершине $O$ — $C$. Запишем отношение соответствующих сторон:

$$\frac{NO}{BC}=\frac{AO}{AC}\Rightarrow NO=\frac{AO\cdot BC}{AC}=\frac{25\cdot 50}{14}=\frac{625}{7}.$$

Проверим результат другим способом. Пусть $H$ — точка пересечения $NO$ и $AB$. Из пункта а) $NO\perp AB$, а в равнобедренном треугольнике $ANB$ высота $NH$ является медианой, поэтому $AH=24$. Из прямоугольного треугольника $AHO$ находим $OH=\sqrt{25^2-24^2}=7$. В прямоугольном треугольнике $NAO$ отрезок $AH$ — высота, проведённая к гипотенузе, поэтому $A{O}^2=OH\cdot ON$, откуда $ON=\frac{625}{7}$. Результаты совпали.

Ответ: б) $\frac{625}{7}$.