ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

Пусть $A{A}_1$ и $C{C}_1$ — высоты треугольника, $A_1$ лежит на прямой $BC$, $C_1$ — на прямой $AB$. Угол $B$ тупой, поэтому основания этих высот лежат на продолжениях сторон за точку $B$. Действительно, если бы $A_1$ лежала на луче $BC$, то в прямоугольном треугольнике $AB{A}_1$ угол $AB{A}_1$ совпадал бы с тупым углом $ABC$, а в прямоугольном треугольнике тупого угла быть не может. Точно так же $C_1$ лежит на продолжении $AB$ за точку $B$.

Прямые $A{A}_1$ и $C{C}_1$ пересекаются в точке $H$ вне треугольника, со стороны вершины $B$, причём $A_1$ лежит на отрезке $AH$, а $C_1$ — на отрезке $CH$.

а) Рассмотрим четырёхугольник $A_{1}B{C}_{1}H$. В нём $\angle B{A}_{1}H=\angle B{C}_{1}H=90^{\circ }$, а угол при вершине $H$ — это угол $AHC$, так как лучи $H{A}_1$ и $H{C}_1$ совпадают с лучами $HA$ и $HC$:

$$\angle A_{1}H{C}_1=\angle AHC=60^{\circ }.$$

Сумма углов четырёхугольника равна $360^{\circ }$, поэтому

$$\angle A_{1}B{C}_1=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }.$$

Лучи $B{A}_1$ и $B{C}_1$ — продолжения лучей $BC$ и $BA$ за точку $B$, поэтому углы $A_{1}B{C}_1$ и $CBA$ вертикальные и равны. Значит, $\angle ABC=120^{\circ }$. Что и требовалось доказать.

б) Точка $A_1$ лежит на продолжении $CB$ за точку $B$, поэтому углы $AB{A}_1$ и $ABC$ смежные:

$$\angle AB{A}_1=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике $A{A}_{1}B$ с прямым углом $A_1$ второй острый угол $\angle BA{A}_1=30^{\circ }$. Катет, лежащий против угла $30^{\circ }$, равен половине гипотенузы:

$$B{A}_1=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 6=3.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $H{A}_{1}C$ с прямым углом $A_1$. В нём $\angle A_{1}HC=60^{\circ }$, поэтому $\angle HC{A}_1=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$. Катет $C{A}_1$ состоит из отрезков $CB$ и $B{A}_1$:

$$C{A}_1=CB+B{A}_1=10+3=13.$$

Катет $H{A}_1$ лежит против угла $30^{\circ }$, поэтому

$$H{A}_1=C{A}_1\cdot \mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{13}{\sqrt{3}}.$$

Наконец, из прямоугольного треугольника $H{A}_{1}B$ с прямым углом $A_1$ по теореме Пифагора

$$BH=\sqrt{B{A}_1^2+H{A}_1^2}=\sqrt{9+\frac{169}{3}}=\sqrt{\frac{196}{3}}=\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{3}}{3}.$$

Проверим через вторую высоту. Аналогично $\angle CB{C}_1=60^{\circ }$, и из прямоугольного треугольника $C{C}_{1}B$ получаем $B{C}_1=\frac{1}{2}BC=5$. Тогда $A{C}_1=AB+B{C}_1=11$, в прямоугольном треугольнике $H{C}_{1}A$ угол $HA{C}_1$ равен $30^{\circ }$, и $H{C}_1=\frac{11}{\sqrt{3}}$. По теореме Пифагора $B{H}^2=B{C}_1^2+H{C}_1^2=25+\frac{121}{3}=\frac{196}{3}$ — то же значение.

Ответ: б) $\frac{14\sqrt{3}}{3}$.