ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: параллелограмм $ABCD$ с острым углом $A$, из вершины $B$ опущены высоты $BP$ на сторону $AD$ и $BQ$ на сторону $CD$, на стороне $AD$ отмечена точка $M$ с $AM=BP$.

а) Обозначим $\angle BAD=\alpha$. Треугольник $ABP$ прямоугольный с прямым углом $P$, сумма его острых углов равна $90^{\circ }$:

$$\angle ABP=90^{\circ }-\alpha .$$

Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому $\angle BCD=\angle BAD=\alpha$. Из прямоугольного треугольника $BQC$ с прямым углом $Q$:

$$\angle QBC=90^{\circ }-\alpha .$$

Углы $A$ и $ABC$ — односторонние при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$, их сумма равна $180^{\circ }$, поэтому $\angle ABC=180^{\circ }-\alpha$.

Лучи $BP$ и $BQ$ проходят внутри угла $ABC$, поэтому

$$\angle PBQ=\angle ABC-\angle ABP-\angle QBC=180^{\circ }-\alpha -2\left(90^{\circ }-\alpha \right)=\alpha .$$

Рассмотрим треугольники $BAM$ и $QBP$. В них $AB=BQ$ и $AM=BP$ по условию, а углы между этими сторонами равны: $\angle BAM=\angle QBP=\alpha$. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Стороны $BM$ и $QP$ лежат против равных углов, поэтому $BM=PQ$. Что и требовалось доказать.

б) Из прямоугольного треугольника $ABP$ по теореме Пифагора

$$AP=\sqrt{A{B}^2-B{P}^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6.$$

Так как $AM=8>AP=6$, точка $P$ лежит между $A$ и $M$, и $PM=AM-AP=2$.

Опустим перпендикуляр $QH$ на прямую $BP$. Сравним прямоугольные треугольники $BHQ$ и $APB$. Их гипотенузы равны: $BQ=AB=10$. Острые углы тоже равны: $\angle QBH=\angle PBQ=\alpha$ (пункт а)) и $\angle BAP=\alpha$. Значит, треугольники равны по гипотенузе и острому углу, и катеты, прилежащие к углу $\alpha$, равны:

$$BH=AP=6,QH=BP=8.$$

Так как $BH=6<BP=8$, точка $H$ лежит на отрезке $BP$, и $HP=BP-BH=2$.

Прямые $QH$ и $AD$ перпендикулярны прямой $BP$, поэтому $QH\parallel AD$. Все точки прямой $QH$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $AD$, поэтому расстояние от точки $Q$ до прямой $AD$ равно расстоянию от точки $H$ до $AD$, то есть $HP=2$ (так как $HP\perp AD$).

Значит, высота треугольника $APQ$, проведённая из вершины $Q$ к стороне $AP$, равна $2$, и

$$S_{APQ}=\frac{1}{2}\cdot AP\cdot HP=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2=6.$$

Ответ: б) $6$.