Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Квадрат, прямоугольник, ромб сложная развёрнутое

Прямая, перпендикулярная стороне $B C$ ромба $A B C D$ , пересекает его диагональ $A C$ в точке $M$ , а диагональ $B D$ в точке $N$ , причём $A M : M C = 1 : 2$ , $B N : N D = 1 : 3$ .

а) Докажите, что прямая $M N$ делит сторону ромба $B C$ в отношении $1 : 4$ .

б) Найдите сторону ромба, если $M N = 6$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Ромб ABCD, отрезок MN перпендикулярен BC

а) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам и перпендикулярны друг другу.

Обозначим $A M = 2 x$ , тогда $M C = 4 x$ и $A C = 6 x$ , поэтому $A O = O C = 3 x$ . Так как $A M < A O$ , точка $M$ лежит между $A$ и $O$ , и $M O = A O - A M = x$ .

Обозначим $B N = y$ , тогда $N D = 3 y$ и $B D = 4 y$ , поэтому $B O = O D = 2 y$ . Точка $N$ лежит между $B$ и $O$ , и $N O = B O - B N = y$ , то есть $N$ — середина $B O$ .

Пусть прямая $M N$ пересекает сторону $B C$ в точке $T$ . Опустим перпендикуляр $O Q$ на прямую $B C$ . Треугольник $B O C$ прямоугольный с прямым углом $O$ , его углы $B$ и $C$ острые, поэтому основание $Q$ высоты лежит на отрезке $B C$ . Прямые $M N$ и $O Q$ перпендикулярны прямой $B C$ , значит, $M N ∥ O Q$ .

По теореме о пропорциональных отрезках (обобщённой теореме Фалеса) параллельные прямые высекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Для угла $O B C$ и параллельных прямых $N T$ и $O Q$ :

$\frac{B T}{T Q} = \frac{B N}{N O} = \frac{y}{y} = 1.$

Для угла $O C B$ и параллельных прямых $O Q$ и $M T$ :

$\frac{C Q}{QT} = \frac{C O}{O M} = \frac{3 x}{x} = 3.$

Рисунок к решению

Обозначим $B T = n$ . Тогда $T Q = n$ , $QC = 3 n$ , и

$B C = B T + T Q + QC = n + n + 3 n = 5 n, T C = T Q + QC = 4 n .$

Значит, $B T : T C = n : 4 n = 1 : 4$ , то есть прямая $M N$ делит сторону $B C$ в отношении $1 : 4$ . Что и требовалось доказать.

б) Опустим перпендикуляр $D H$ на прямую $B C$ . Прямые $N T$ , $O Q$ и $D H$ перпендикулярны $B C$ , а значит, параллельны. На стороне $B D$ угла $D B C$ они отсекают отрезки $B N = y$ , $B O = 2 y$ , $B D = 4 y$ , поэтому по той же теореме о пропорциональных отрезках

$B T : B Q : B H = 1 : 2 : 4 \Rightarrow B Q = 2 n, B H = 4 n .$

Так как $B H = 4 n < 5 n = B C$ , точка $H$ лежит на стороне $B C$ , причём

$Q H = B H - B Q = 2 n, H C = B C - B H = n .$

Пусть прямая $M N$ пересекает сторону $A D$ в точке $K$ . Так как $A D ∥ B C$ , а $K T ⊥ B C$ и $D H ⊥ B C$ , прямые $K T$ и $D H$ перпендикулярны обеим прямым $A D$ и $B C$ . Значит, $K T H D$ — прямоугольник, и

$D H = K T .$

Рассмотрим треугольники $A K M$ и $C T M$ . Они прямоугольные ( $∠ A K M = ∠ C T M = 9 0^{\circ}$ ), а углы $A M K$ и $C M T$ равны как вертикальные. Значит, треугольники подобны по двум углам с коэффициентом $\frac{A M}{M C} = \frac{1}{2}$ , поэтому

$\frac{K M}{M T} = \frac{1}{2} .$

Аналогично прямоугольные треугольники $D K N$ и $B T N$ подобны (углы $D N K$ и $B N T$ вертикальные) с коэффициентом $\frac{D N}{B N} = 3$ , поэтому

$\frac{K N}{N T} = 3.$

Пусть $K T = 12 a$ . Из первого отношения $K M = 4 a$ , $M T = 8 a$ , из второго $K N = 9 a$ , $N T = 3 a$ . Так как $K M < K N$ , на отрезке $K T$ точки идут в порядке $K$ , $M$ , $N$ , $T$ , и

$M N = M T - N T = 8 a - 3 a = 5 a .$

По условию $M N = 6$ , поэтому $a = \frac{6}{5}$ и

$D H = K T = 12 a = \frac{12 6}{5} .$

Рисунок к решению

Рассмотрим прямоугольный треугольник $D H C$ с прямым углом $H$ . Его гипотенуза $D C$ — сторона ромба, $D C = B C = 5 n$ , катет $H C = n$ . По теореме Пифагора

$(5 n)^{2} = n^{2} + (\frac{12 6}{5})^{2} \Rightarrow 24 n^{2} = \frac{144 \cdot 6}{25} = \frac{864}{25} \Rightarrow n^{2} = \frac{36}{25} \Rightarrow n = \frac{6}{5} .$

Сторона ромба равна

$B C = 5 n = 5 \cdot \frac{6}{5} = 6.$

Проверим ответ координатами. Поместим начало координат в точку $O$ , ось абсцисс направим по $A C$ : $A (- 3 p; 0)$ , $C (3 p; 0)$ , $B (0; 2 q)$ , $D (0; - 2 q)$ . Тогда $M (- p; 0)$ и $N (0; q)$ , $M N = (p; q)$ , $B C = (3 p; - 2 q)$ . Условие $M N ⊥ B C$ означает, что скалярное произведение равно нулю: $3 p^{2} - 2 q^{2} = 0$ , то есть $q^{2} = \frac{3}{2} p^{2}$ . Из $M N^{2} = p^{2} + q^{2} = \frac{5}{2} p^{2} = 6$ получаем $p^{2} = \frac{12}{5}$ , и $B C^{2} = 9 p^{2} + 4 q^{2} = 15 p^{2} = 36$ , $B C = 6$ . Результат тот же.

Ответ: б) $6$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18