ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

а) Проведём через точку $M$ прямую, перпендикулярную основаниям: она пересекает прямую $AD$ в точке $H$, а прямую $BC$ — в точке $L$. Так как $AD\parallel BC$, прямая, перпендикулярная одному основанию, перпендикулярна и другому, поэтому $HL$ — высота трапеции. Точка $M$ лежит на боковой стороне, то есть между прямыми $AD$ и $BC$, поэтому $M$ лежит на отрезке $HL$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $DMH$ и $CML$. У них $DM=CM$, так как $M$ — середина $CD$, а углы $DMH$ и $CML$ равны как вертикальные. Значит, треугольники равны по гипотенузе и острому углу, и

$$MH=ML.$$

Обозначим $MH=ML=h$. Тогда высота трапеции равна $HL=2h$, а площадь трапеции

$$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot 2h=(AD+BC)h.$$

Отрезок $MH$ — высота треугольника $AMD$, проведённая к стороне $AD$, а $ML$ — высота треугольника $BMC$, проведённая к стороне $BC$. Поэтому

$$S_{AMD}+S_{BMC}=\frac{1}{2}AD\cdot h+\frac{1}{2}BC\cdot h=\frac{1}{2}(AD+BC)h=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}.$$

Отрезки $AM$ и $BM$ разбивают трапецию на три треугольника $ABM$, $AMD$ и $BMC$, поэтому

$$S_{ABM}=S_{ABCD}-S_{AMD}-S_{BMC}=S_{ABCD}-\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}.$$

Что и требовалось доказать.

б) Проведём через точку $K$ перпендикуляры к основаниям: $KE\perp BC$ и $KF\perp AD$. Обозначим $KE=h_1$, $KF=h_2$. Это высоты треугольников $BKC$ и $AKD$, поэтому условие $S_{BKC}=\frac{1}{2}{S}_{AKD}$ записывается так:

$$\frac{1}{2}BC\cdot h_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}AD\cdot h_2\iff 2BC\cdot h_1=AD\cdot h_2.$$

По условию $AD=2BC$, поэтому $2BC\cdot h_1=2BC\cdot h_2$, откуда

$$h_1=h_2,\text{то есть}KE=KF.$$

Перпендикуляры $KE$ и $KF$ к параллельным прямым, проведённые через одну точку $K$, лежат на одной прямой. Рассмотрим прямоугольные треугольники $CKE$ и $DKF$: у них $KE=KF$, а углы $CKE$ и $DKF$ равны как вертикальные. Значит, треугольники равны по катету и острому углу, и $CK=KD$. Итак, $K$ — середина $CD$. Обозначим $CK=KD=x$.

Продлим боковые стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $O$. Они пересекаются за основанием $BC$, так как $BC<AD$. Углы $OBC$ и $OAD$ равны как соответственные при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AB$, углы $OCB$ и $ODA$ — как соответственные при секущей $CD$. Значит, треугольники $OBC$ и $OAD$ подобны по двум углам:

$$\frac{OC}{OD}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}\Rightarrow OD=2OC.$$

Точка $C$ лежит между $O$ и $D$, поэтому $CD=OD-OC=OC$, то есть $OC=CD=2x$. Тогда

$$OK=OC+CK=2x+x=3x,OD=OC+CD=2x+2x=4x.$$

Опустим перпендикуляры $D{H}_D$ и $K{H}_K$ на прямую $AB$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, поэтому по условию $D{H}_D=10$, а искомое расстояние равно $K{H}_K$.

Треугольники $OK{H}_K$ и $OD{H}_D$ прямоугольные с прямыми углами при вершинах $H_K$ и $H_D$, а острый угол при вершине $O$ у них общий. Значит, они подобны по двум углам:

$$\frac{K{H}_K}{D{H}_D}=\frac{OK}{OD}=\frac{3x}{4x}=\frac{3}{4}\Rightarrow K{H}_K=\frac{3}{4}\cdot 10=7,5.$$

Проверим ответ с помощью пункта а). Точка $K$ — середина $CD$, поэтому $S_{ABK}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}$. Если $h$ — высота трапеции, то $S_{ABCD}=\frac{2BC+BC}{2}\cdot h=\frac{3}{2}BC\cdot h$ и $S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot 2BC\cdot h=BC\cdot h=\frac{2}{3}{S}_{ABCD}$. У треугольников $ABK$ и $ABD$ общая сторона $AB$, поэтому их высоты к $AB$ относятся как площади: $\frac{K{H}_K}{10}=\frac{1/2}{2/3}=\frac{3}{4}$. Результат тот же.

Ответ: б) $7,5$.